+ Sử dụng những định lí về tính thường xuyên của hàm nhiều thức, lương giác, phân thức hữu tỉ …

+ trường hợp hàm số mang đến dưới dạng nhiều cách làm thì ta xét tính liên tiếp trên mỗi khoảng đã phân chia và tại những điểm chia của những khoảng đó.

Bạn đang xem: Xét tính liên tục của hàm số trên tập xác định

Ví dụ. Tìm (m) để các hàm số (f(x) = left{ eginarrayl fracsqrt<3>x - 2 + 2x - 1x - 1 m lúc x e 1\ 3m - 2 m khi x = 1 endarray ight.) liên tục trên (mathbbR)

A. (m=1)

B. (m=frac43)

C. (m=2)

D. (m=0)

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Với (x e 1) ta tất cả (f(x)=fracsqrt<3>x-2+2x-1x-1) bắt buộc hàm số tiếp tục trên khoảng chừng (mathbbRackslash left 1 ight\)

Do kia hàm số liên tiếp trên (mathbbR) khi và chỉ khi hàm số liên tiếp tại (x=1)

Ta có: (f(1)=3m-2)

(undersetx o 1mathoplim ,f(x)=undersetx o 1mathoplim ,fracsqrt<3>x-2+2x-1x-1)

(=undersetx o 1mathoplim ,left< 1+fracx^3+x-2(x-1)left( x^2-xsqrt<3>x-2+sqrt<3>(x-2)^2 ight) ight>)

(=undersetx o 1mathoplim ,left< 1+fracx^2+x+2x^2-xsqrt<3>x-2+sqrt<3>(x-2)^2 ight>=2)

Nên hàm số thường xuyên tại (x=1Leftrightarrow 3m-2=2Leftrightarrow m=frac43)

Vậy (m=frac43) là phần nhiều giá trị cần tìm.


2. Bài xích tập


Câu 1. Tìm xác minh đúng trong các khẳng định sau:

(left( I ight))(fleft( x ight)=frac1sqrtx^2-1) liên tục trên (mathbbR).

(left( II ight))(fleft( x ight)=fracsin xx) có giới hạn khi (x o 0.)

(left( III ight))(fleft( x ight)=sqrt9-x^2) thường xuyên trên đoạn (left< -3;3 ight>).

A. Chỉ (left( I ight))và (left( II ight)).

B. Chỉ (left( II ight))và (left( III ight)).

C. Chỉ (left( II ight)).

D. Chỉ (left( III ight)).

Hướng dẫn giải:

Chọn B.

Dễ thấy kđ (I) sai, Kđ (II) là lí thuyết.

Hàm số:(fleft( x ight)=sqrt9-x^2) liên tục trên khoảng(left( -3;3 ight)). Liên tiếp phải tại (3) và thường xuyên trái tại (-3).

Nên (fleft( x ight)=sqrt9-x^2) liên tiếp trên đoạn (left< -3;3 ight>).

Câu 2. Tìm xác minh đúng trong các xác định sau:

(left( I ight)). (fleft( x ight)=fracsqrtx+1x-1) liên tục với phần đa (x e 1).

(left( II ight)). (fleft( x ight)=sin x) liên tiếp trên (mathbbR).

(left( III ight)). (fleft( x ight)=fracx) liên tiếp tại (x=1).

A. Chỉ (left( I ight)) đúng.

B. Chỉ (left( I ight)) và (left( II ight)).

C. Chỉ (left( I ight))và (left( III ight)). 

D. Chỉ (left( II ight)) với (left( III ight)).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

Ta gồm (left( II ight)) đúng do hàm số lượng giác liên tiếp trên từng khoảng của tập xác định.

Ta có (left( III ight)) đúng vì (fleft( x ight) = fracleftx = left{ eginarrayl fracxx m , khi x ge 0\ - fracxx m , lúc x 2Rightarrow f(x)=2-xRightarrow ) hàm số liên tục

(ullet ) trên (x=2) ta có : (f(2)=0)

(undersetx o 2^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 2^+mathoplim ,left( 2-x ight)=0) ;

(undersetx o 2^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 2^-mathoplim ,frac(x-2)(x-3)2(x-2)(x^2+2x+4)=-frac124 e undersetx o 2^+mathoplim ,f(x))

Hàm số không thường xuyên tại (x=2).

Câu 8. Cho hàm số (f(x) = left{ eginarrayl fracsqrt<3>x - 1sqrt x - 1 m lúc x > 1\ fracsqrt<3>1 - x + 2x + 2 m lúc x le 1 endarray ight.). Xác định nào tiếp sau đây đúng nhất.

A. Hàm số tiếp tục trên (mathbbR)

B. Hàm số không liên tiếp trên (mathbbR)

C. Hàm số không liên tục trên (left( 1:+infty ight))

D. Hàm số cách trở tại các điểm (x=1).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

Hàm số xác định với số đông x ở trong (mathbbR)

(ullet ) với (x1Rightarrow f(x)=fracsqrt<3>x-1sqrtx-1Rightarrow ) hàm số liên tục

(ullet ) tại (x=1) ta có : (f(1)=frac23)

(undersetx o 1^+mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^+mathoplim ,fracsqrt<3>x-1sqrtx-1=undersetx o 1^+mathoplim ,frac(x-1)(sqrtx+1)(x-1)(sqrt<3>x^2+sqrt<3>x+1)=frac23) ;

(undersetx o 2^-mathoplim ,f(x)=undersetx o 1^-mathoplim ,fracsqrt1-x+2x+2=frac23=undersetx o 1^+mathoplim ,f(x)=f(1))

Hàm số thường xuyên tại (x=1).

Vậy hàm số tiếp tục trên (mathbbR).

Câu 9. Cho hàm số (fleft( x ight)=left{ eginalign & frac an xx ext , x e 0wedge x e fracpi 2+kpi ,kin mathbbZ \ và 0 ext , x=0 \ endalign ight.). Hàm số (y=fleft( x ight)) tiếp tục trên các khoảng như thế nào sau đây?

A. (left( 0;fracpi 2 ight)).

B. (left( -infty ;fracpi 4 ight)). 

C. (left( -fracpi 4;fracpi 4 ight)).

D. (left( -infty ;+infty ight)).

Hướng dẫn giải:

Chọn A.

TXĐ: (D=mathbbRackslash left fracpi 2+kpi ,kin mathbbZ ight\).

Với (x=0) ta gồm (fleft( 0 ight)=0).

(undersetx o 0mathoplim ,fleft( x ight)=undersetx o 0mathoplim ,frac an xx)(=undersetx o 0mathoplim ,fracsin xx.undersetx o 0mathoplim ,frac1cos x)(=1) tuyệt (undersetx o 0mathoplim ,fleft( x ight) e fleft( 0 ight)).

Vậy hàm số gián đoạn tại (x=0).

Câu 10. Cho hàm số (fleft( x ight) = left{ eginarrayl a^2x^2 m , x le sqrt 2 ,a in R\ left( 2 - a ight)x^2 m , x > sqrt 2 endarray ight.). Giá trị của (a) nhằm (fleft( x ight)) liên tục trên (mathbbR) là:

A. (1) cùng (2).

B. (1) với (1).

C. (1) và (2).

D. (1) với (2).

Hướng dẫn giải:

Chọn D.

TXĐ: (D=mathbbR).

Xem thêm: Phương Pháp Tính Tích Phân Và Bài Tập Tích Phân Có Lời Giải, Bài Tập Tính Tích Phân Cơ Bản, Có Lời Giải

Với (x>sqrt2) ta tất cả hàm số (fleft( x ight)=a^2x^2) tiếp tục trên khoảng (left( sqrt2;+infty ight)).