Tích phân là kiến thức và kỹ năng quan trọng, nhằm học tốt thì học sinh cần nhớ cục bộ công thức tích phân. Bài viết này đang giới thiệu cục bộ công thức và hệ thống các dạng tích phân thường chạm chán trong đề thi. Chỉ cần nhớ và vận dụng thành thành thục là bạn đã chiếm lĩnh điểm về tối đa.

Bạn đang xem: Tổng hợp các công thức tích phân


Cơ sở lý thuyếtCông thức tích phân cơ bảnPhương pháp đổi khác từ phương pháp tính tích phân2. Một số dạng toán thường gặpPhương pháp tính tích phân từng phần

Cơ sở lý thuyết

Khái niệm tích phân

Cho hàm số (fleft( x ight)) liên tiếp trên đoạn (left< a;b ight>,Fleft( x ight)) là 1 trong nguyên hàm của hàm số (fleft( x ight)) bên trên đoạn (left< a;b ight>). Hiệu (Fleft( b ight) – Fleft( a ight)) được call là tích phân của (f) trường đoản cú (a) mang đến (b). Kí hiệu:

$I = intlimits_a^b fleft( x ight)dx = left. Fleft( x ight) ight|_a^b = Fleft( b ight) – Fleft( a ight)$

Tính hóa học tích phân

Giả sử những hàm số (f,g) thường xuyên trên (left< a;b ight>,c) là điểm bất kì ở trong (left< a;b ight>). Lúc ấy ta có:

(intlimits_a^a fleft( x ight)dx = 0)(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = – intlimits_b^a fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b k.fleft( x ight)dx = k.intlimits_a^b fleft( x ight)dx )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a^b fleft( t ight)dt )(intlimits_a^b fleft( x ight)dx + intlimits_b^c fleft( x ight)dx = intlimits_a^c fleft( x ight)dx ;) (forall b in left< a;c ight>)(intlimits_a^b left< fleft( x ight) pm gleft( x ight) ight>dx ) (= intlimits_a^b fleft( x ight)dx pm intlimits_a^b gleft( x ight)dx )Nếu (fleft( x ight) ge 0) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge 0)Nếu (fleft( x ight) ge gleft( x ight)) bên trên (left< a;b ight>) thì (intlimits_a^b fleft( x ight)dx ge intlimits_a^b gleft( x ight)dx ).

Công thức tích phân cơ bản

Tính tích phân áp dụng bảng nguyên hàm cơ bản

Khi tính tích phân các hàm số cơ bản (đa thức, lượng giác, mũ,…) những em cần chú ý sử dụng bảng nguyên hàm các hàm số cơ bản kết phù hợp với công thức Leibnitz: (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = Fleft( b ight) – Fleft( a ight))

ở đó, (fleft( x ight)) là hàm liên tục trên (left< a;b ight>) với (Fleft( x ight)) là 1 nguyên hàm của (fleft( x ight)).


*

Tính tích phân có chứa dấu cực hiếm tuyệt đối

Đối với các tích phân dạng (intlimits_a^b fleft( x ight) ight ), phương thức chung là ta cố gắng phá lốt giá trị tuyệt đối hàm (fleft( x ight)) trên từng khoảng nhỏ nằm trong khoảng (left( a;b ight)) rồi tính lần lượt những tích phân đó.

Phương pháp chuyển đổi từ cách làm tính tích phân

1. Kỹ năng và kiến thức cần nhớ


Vi phân: (eginarraylt = uleft( x ight) Rightarrow dt = u’left( x ight)dx\uleft( t ight) = vleft( x ight) Rightarrow u’left( t ight)dt = v’left( x ight)dxendarray)Công thức thay đổi biến: (intlimits_a^b fleft< uleft( x ight) ight>u’left( x ight)dx = intlimits_tleft( a ight)^tleft( b ight) fleft( t ight)dt )

2. Một số trong những dạng toán thường xuyên gặp


Dạng 1: Tính tích phân bằng cách thức đổi phát triển thành (t = uleft( x ight)). Bước 1: Đặt (t = uleft( x ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = uleft( a ight) = a’\x = b Rightarrow t = uleft( b ight) = b’endarray ight.) .Bước 2: Tính vi phân (dt = u’left( x ight)dx).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx) thành (gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính tích phân (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt ).
Dạng 2: Tính tích phân bằng phương pháp đổi trở nên (x = uleft( t ight)).
Bước 1: Đặt (x = uleft( t ight)), đổi cận (left{ eginarraylx = a Rightarrow t = a’\x = b Rightarrow t = b’endarray ight.).Bước 2: Lấy vi phân 2 vế (dx = u’left( t ight)dt).Bước 3: Biến đổi (fleft( x ight)dx = fleft( uleft( t ight) ight).u’left( t ight)dt = gleft( t ight)dt).Bước 4: Tính nguyên hàm theo bí quyết (intlimits_a^b fleft( x ight)dx = intlimits_a’^b’ gleft( t ight)dt )

Phương pháp tính tích phân từng phần

Kiến thức nên nhớ


Công thức tích phân từng phần: (intlimits_a^b udv = left. left( uv ight) ight|_a^b – intlimits_a^b vdu )

2. Một trong những bài toán thường áp dụng cách thức tích phân từng phần


Dạng 1: Tích phân có chứa hàm số logarit.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx ) (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số nhiều thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = ln left( ax + b ight)\dv = fleft( x ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = dfraca ax + b dx\v = int fleft( x ight)dx endarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n fleft( x ight)ln left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 2: Tích phân có chứa hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx ). (trong đó (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = e^ax + bdxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1ae^ax + bendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo cách làm (intlimits_m^n fleft( x ight)e^ax + bdx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 3: Tích phân bao gồm chứa hàm con số giác với hàm đa thức.

Tính tích phân (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx ). (trong kia (fleft( x ight)) là hàm số đa thức)

Phương pháp:

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = sin left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = – dfrac1acos left( ax + b ight)endarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = fleft( x ight)\dv = cos left( ax + b ight)dxendarray ight. Rightarrow left{ eginarrayldu = f’left( x ight)dx\v = dfrac1asin left( ax + b ight)endarray ight.) Bước 2: Tính tích phân theo công thức (intlimits_m^n fleft( x ight)sin left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu ) hoặc (intlimits_m^n fleft( x ight)cos left( ax + b ight)dx = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Dạng 4: Tích phân có chứa hàm số lượng giác và hàm số mũ.

Tính tích phân (intlimits_m^n e^ax + bsin left( cx + d ight)dx ) hoặc (intlimits_m^n e^ax + bcos left( cx + d ight)dx ).

Xem thêm: 7 Dạng Vô Định Của Giới Hạn Hàm Số Dạng Vô Định, Giới Hạn Của Hàm Số Dạng Vô Định

Bước 1: Đặt (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = sin left( cx + d ight)dxendarray ight.) hoặc (left{ eginarraylu = e^ax + b\dv = cos left( cx + d ight)dxendarray ight.)Bước 2: Tính tích phân theo phương pháp (intlimits_m^n udv = left. Uv ight|_m^n – intlimits_m^n vdu )

Hy vọng với bài viết này sẽ giúp ích bạn đạt hiệu quả cao.