Bài viết hướng dẫn phương thức giải bài xích toán khẳng định điểm hay tập phù hợp điểm vừa lòng đẳng thức vectơ đến trước, ngoài ra là một số trong những ví dụ minh họa bao gồm lời giải chi tiết giúp bạn đọc nắm vững cách thức giải quyết dạng toán này.

Bạn đang xem: Tìm tập hợp điểm thỏa mãn đẳng thức vecto

Phương pháp giải toán:1. Xác minh điểm $M$ tán đồng một đẳng thức vectơ đến trước:• Ta biến đổi đẳng thức vectơ cho trước về dạng $overrightarrow OM = overrightarrow v $, trong đó điểm $O$ và vectơ $overrightarrow v $ sẽ biết.• Khi kia điểm $M$ trọn vẹn xác định.2. Khẳng định tập đúng theo điểm $M$ bằng lòng đẳng thức vectơ đến trước:Ta tất cả thể biến đổi đẳng thức đã mang lại về một trong những dạng:• giả dụ $left| overrightarrow AM ight| = R$ ($R$ là hằng số) thì tập hợp các điểm $M$ là con đường tròn trọng tâm $A$, bán kính $R$ trường hợp $R > 0$; $M ≡ A$ nếu như $R = 0$; là tập rỗng ví như $R • nếu như $left| overrightarrow MA ight| = kleft| overrightarrow BC ight|$ ($A$, $B$, $C$ cho trước) thì tập đúng theo điểm $M$ là đường tròn trung khu $A$, bán kính bằng $k.BC.$• giả dụ $left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MB ight|$ cùng với $A$, $B$ mang lại trước thì $M$ thuộc con đường trung trực của đoạn $AB.$• nếu như $overrightarrow MA = koverrightarrow BC $ ($A$, $B$, $C$ cho trước) thì tập vừa lòng điểm $M$ là:+ Đường thẳng qua $A$ tuy vậy song cùng với $BC$ nếu như $k ∈ R.$+ Nửa con đường thẳng qua $A$ song song cùng với $BC$ theo phía $overrightarrow BC $ với $k ∈ R^+ .$+ Nửa con đường thẳng qua $A$ song song với $BC$ theo phía ngược cùng với $overrightarrow BC $ với $k ∈ R^- .$3. Xác minh tập đúng theo điểm thỏa mãn đẳng thức của tích vô hướng:Ta tất cả thể thay đổi đẳng thức tích vô phía đã cho về một trong những dạng (ngoài phần lớn trường hòa hợp trên):• giả dụ $overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0$ ($A$, $B$ nỗ lực định) thì $M$ thuộc con đường tròn đường kính $АВ.$• ví như $overrightarrow MH .overrightarrow AB = 0$ ($H$ nắm định, $overrightarrow AB $ vectơ không đổi) thì tập thích hợp $M$ là mặt đường thẳng $Δ$ qua $H$ vuông góc $AB.$

Ví dụ minh họa:Ví dụ 1: mang lại tam giác $ABC.$a) khẳng định điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0.$b) khẳng định điểm $N$ vừa lòng $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = overrightarrow 0 .$c) xác định điểm $P$ thỏa mãn $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ (với $K$ là điểm tùy ý).

Xem thêm: Phân Dạng Và Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Chọn Lọc, Có Lời Giải, Phân Dạng Và Bài Tập Chuyên Đề Tổ Hợp Xác Suất

*

a) điện thoại tư vấn $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $CI.$Ta có: $overrightarrow MA + overrightarrow MB + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI + 2overrightarrow MC = vec 0$ $ Leftrightarrow 4overrightarrow MJ = vec 0 .$Do đó: $J equiv M.$b) hotline $E$ là trung điểm của $AC.$Ta có: $overrightarrow NA – 2overrightarrow NB + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NC + overrightarrow CA )$ $ – 2(overrightarrow NC + overrightarrow CB )$ $ + 3overrightarrow NC = vec 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow NC + overrightarrow CA – 2overrightarrow CB = overrightarrow 0 $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow CA – 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = (overrightarrow BA – overrightarrow BC ) + 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = overrightarrow BA + overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 2overrightarrow CN = 2overrightarrow BE $ tốt $ overrightarrow CN = overrightarrow BE .$c) Ta có: $overrightarrow CP = overrightarrow KA + 2overrightarrow KB – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow KC + overrightarrow CA + 2(overrightarrow KC + overrightarrow CB ) – 3overrightarrow KC $ $ = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$Vì $A$, $B$, $C$ cho trước nên $overrightarrow a = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB $ xác định. Vậy tập thích hợp điểm $P$ thỏa mãn nhu cầu $overrightarrow CP = overrightarrow CA + 2overrightarrow CB .$

Ví dụ 2: mang lại tam giác đầy đủ $ABC$ cạnh $a.$a) tìm tập đúng theo điểm $M$ thỏa mãn nhu cầu $MB^2 + 2MC^2 = k.$b) search tập phù hợp điểm $N$ vừa lòng $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$

*

Ta có: $MB^2 + 2MC^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow MB ^2 + 2overrightarrow MC ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow MI + overrightarrow IB )^2 + 2(overrightarrow MI + overrightarrow IC ) = k$ $ Leftrightarrow 3MI^2 + 2overrightarrow MI (overrightarrow IB + 2overrightarrow IC )$ $ + IB^2 + 2IC^2 = k.$Gọi $I$ là vấn đề sao cho $overrightarrow IB + 2overrightarrow IC = vec 0$ với $IC = fraca3$, $IB = frac2a3.$Khi đó: $ – 3MI^2 = IB^2 + 2IC^2 – k.$Suy ra: $MI^2 = frac3k – 2a^29.$Vậy:+ giả dụ $3k – 2a^2 + nếu như $3k – 2a^2 = 0$ $ Leftrightarrow k = frac23a^2$, lúc đó $M equiv I.$+ nếu như $3k – 2a^2 > 0$ $ Leftrightarrow k > frac23a^2$, khi đó tập đúng theo $M$ là mặt đường tròn chổ chính giữa $I$, bán kính $R = frac13sqrt 3k – 2a^2 .$b) gọi $G$ là trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $overrightarrow NA + overrightarrow NB + overrightarrow NC = 3overrightarrow NG .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ + 2(overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA )$ $ = 9NG^2.$Khi đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – left( NA^2 + NB^2 + NC^2 ight)2.$Mặt khác: $overrightarrow NA = overrightarrow NG + overrightarrow GA $ $ Rightarrow NA^2 = NG^2 + GA^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GA .$Tương tự:$NB^2 = NG^2 + GB^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GB .$$NC^2 = NG^2 + GC^2 + 2overrightarrow NG .overrightarrow GC .$Suy ra: $NA^2 + NB^2 + NC^2$ $ = 3NG^2 + 3GA^2$ $ + 2overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ (vì $GA = GB = GC$) $ = 3NG^2 + 3left( frac23 cdot fracasqrt 3 2 ight)^2$ $ = 3NG^2 + a^2.$Từ đó: $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA $ $ = frac9NG^2 – 3NG^2 – a^22$ $ = 3NG^2 – fraca^22.$Mà $overrightarrow NA .overrightarrow NB + overrightarrow NB .overrightarrow NC + overrightarrow NC .overrightarrow NA = frac5a^22.$Nên $3NG^2 – fraca^22 = frac5a^22$ $ Rightarrow NG^2 = a^2$ hay $GN = a.$Vậy tập vừa lòng điểm $N$ là đường tròn trọng điểm $G$ nửa đường kính là $a.$

Ví dụ 3: đến tứ giác $ABCD.$a) xác minh điểm $O$ làm thế nào cho $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD .$b) tìm kiếm tập đúng theo điểm $M$ vừa lòng hệ thức $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|.$

*

a) Ta có: $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC = 2overrightarrow OD $ $ Leftrightarrow overrightarrow OB + 4(overrightarrow OB + overrightarrow BC )$ $ = 2(overrightarrow OB + overrightarrow BD )$ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow BD – 4overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2(overrightarrow BD – overrightarrow BC ) – 2overrightarrow BC $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 2overrightarrow CD + 2overrightarrow CB $ $ Leftrightarrow 3overrightarrow OB = 4overrightarrow CI $ ($I$ là trung điểm $BO$) $ Leftrightarrow overrightarrow OB = frac43overrightarrow CI .$Vậy $O$ là đỉnh của hình bình hành $IBON$ với: $overrightarrow IN = frac43overrightarrow IC .$b) Ta có: $left| overrightarrow MB + 4overrightarrow MC – 2overrightarrow MD ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| overrightarrow MO + overrightarrow OB + 4(overrightarrow MO + overrightarrow OC ) – 2(overrightarrow MO + overrightarrow OD ) ight|$ $ = left| 3overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow left| 3overrightarrow MO ight| = left| 3overrightarrow MA ight|$ do $overrightarrow OB + 4overrightarrow OC – 2overrightarrow OD = vec 0.$Do đó: $left| overrightarrow MO ight| = left| overrightarrow MA ight|$ $ Leftrightarrow MO = MA.$Vậy tập thích hợp $M$ là đường trung trực của đoạn trực tiếp $OA.$

Ví dụ 4: cho tam giác $ABC$ vuông trên $A.$ Điểm $M$ ngẫu nhiên nằm vào tam giác gồm hình chiếu xuống $BC$, $CA$, $AB$ theo máy tự là $D$, $E$, $F.$a) kiếm tìm tập hòa hợp điểm $M$ hiểu được $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ cùng phương với $overrightarrow BC .$b) tìm kiếm tập hợp những điểm $M$ hiểu được $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight| = left| overrightarrow MA ight|.$

a)

*

Ta có: $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = overrightarrow MD + overrightarrow MA .$Gọi $I$ là trung điểm của $AD.$Khi đó $overrightarrow MD + overrightarrow MA = 2overrightarrow MI .$Vậy $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF = 2overrightarrow MI .$Để $overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF $ thuộc phương cùng với $overrightarrow BC $ thì $overrightarrow MI $ cùng phương $overrightarrow BC .$Suy ra: $overrightarrow MI $ cùng phương $overrightarrow PQ $ (với $PQ$ là đường trung bình của tam giác $ABC$ tuy nhiên song cùng với cạnh $BC$).Do kia tập phù hợp $M$ là đoạn $PQ.$b)

*

Gọi $M’$ là vấn đề trên mặt đường cao $AH$ làm sao cho $AM’ = MD$, tức là $AMDM’$ là hình bình hành.Ta có: $left| overrightarrow MD + overrightarrow ME + overrightarrow MF ight|$ $ = left| overrightarrow MD + overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow MA ight|.$Suy ra: $left| overrightarrow MM’ ight| = left| overrightarrow MA ight| = left| overrightarrow M’D ight|.$Dễ thấy $MD = frac23AH.$Vậy $M$ nằm trên đường thẳng tuy vậy song cùng với $BC$, biện pháp $BC$ một khoảng chừng bằng $frac23AH$ mà lại trừ đa số điểm ở phía quanh đó tam giác $ABC.$

Ví dụ 5: mang đến điểm $A$, $B$ cố định với $AB = a.$a) tìm kiếm tập hòa hợp điểm $M$ thế nào cho $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2.$b) kiếm tìm tập vừa lòng điểm $N$ thỏa: $NA^2 + 2NB^2 = k$ ($k$ là hằng số thực dương).

a) Ta có: $overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MB .overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + (overrightarrow MA + overrightarrow AB ).overrightarrow AB = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB + overrightarrow AB ^2 = a^2$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA ^2 + overrightarrow MA .overrightarrow AB = 0$ $ Leftrightarrow quad overrightarrow MA .(overrightarrow MA + overrightarrow AB ) = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MA .overrightarrow MB = 0.$Vậy tập hòa hợp điểm $M$ là đường tròn 2 lần bán kính $AB.$b) hotline $I$ là điểm sao đến $overrightarrow IA + 2overrightarrow IB = vec 0$, do $A$, $B$ thắt chặt và cố định nên $I$ nuốm định.Ta có: $NA^2 + 2NB^2 = k$ $ Leftrightarrow overrightarrow NA ^2 + 2overrightarrow NB ^2 = k$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NI + overrightarrow IA )^2 + 2(overrightarrow NI + overrightarrow IB )^2 = k$ $ Leftrightarrow NI^2 + 2overrightarrow NI .overrightarrow IA + IA^2$ $ + 2NI^2 + 4overrightarrow NI .overrightarrow IB + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 + 2overrightarrow NI (overrightarrow IA + 2overrightarrow IB )$ $ + IA^2 + 2IB^2 = k$ $ Leftrightarrow 3NI^2 = k^2 – left( IA^2 + 2IB^2 ight)$ $ Leftrightarrow NI^2 = frac13left( k^2 – 6IB^2 ight)$ $NI^2 = frac13left( k^2 – frac2a^23 ight)$ (vì $IB = frac13AB$).Vậy:+ giả dụ $k^2 > frac2a^23$ thì tập hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $I$, nửa đường kính $R = sqrt frac13left( k^2 – frac2a^23 ight) .$+ trường hợp $k^2 = frac2a^23$ thì tập phù hợp điểm $N$ đó là $I.$+ ví như $k^2 Ví dụ 6: đến tam giác $ABC$ hầu như cạnh bằng $a.$a) tìm tập phù hợp điểm $M$ thỏa $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0.$b) tìm tập hợp điểm $N$ thỏa $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2.$c) tìm kiếm tập vừa lòng điểm $P$ thỏa $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2.$

a) gọi $I$ là trung điểm của $AB$, $J$ là trung điểm của $AC$, ta gồm $I$, $J$ nắm định.Ta có: $(overrightarrow MA + overrightarrow MB )(overrightarrow MA + overrightarrow MC ) = 0$ $ Leftrightarrow 2overrightarrow MI .2overrightarrow MJ = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow MI .overrightarrow MJ = 0.$Vậy tập hòa hợp điểm $M$ là mặt đường tròn đường kính $IJ.$b) điện thoại tư vấn $G$ là giữa trung tâm tam giác $ABC.$Ta có: $NA^2 + NB^2 + NC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow (overrightarrow NG + overrightarrow GA )^2 + (overrightarrow NG + overrightarrow BG )^2$ $ + (overrightarrow NG + overrightarrow GC )^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + overrightarrow NG (overrightarrow GA + overrightarrow GB + overrightarrow GC )$ $ + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2$ $ Leftrightarrow 3NG^2 + GA^2 + GB^2 + GC^2 = 4a^2.$Trong đó: $GA = GB = GC$ $ = frac23fracasqrt 3 2 = fracasqrt 3 3.$Vậy $3NG^2 = 3a^2 Leftrightarrow NG^2 = a^2.$Do đó tập hòa hợp điểm $N$ là đường tròn tâm $G$ nửa đường kính bằng $a.$c) Ta có: $3PA^2 = 2PB^2 + PC^2$ $ Leftrightarrow 3(overrightarrow PG + overrightarrow GA )^2$ $ = 2(overrightarrow PG + overrightarrow GB )^2 + (overrightarrow PG + overrightarrow GC )^2$ $ Leftrightarrow 3PG^2 + 6overrightarrow PG .overrightarrow GA + 3GA^2$ $ = 2PG^2 + 4overrightarrow PG .overrightarrow GB + 2GB^2$ $ + PG^2 + 2overrightarrow PG .overrightarrow GC + GC^2$ $ Leftrightarrow 6overrightarrow PG .overrightarrow GA – 4overrightarrow PG .overrightarrow GB – 2overrightarrow PG .overrightarrow GC = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG (3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC ) = 0.$Mặt khác: $3overrightarrow GA – 2overrightarrow GB – overrightarrow GC $ $ = 3overrightarrow GA – 2(overrightarrow GA + overrightarrow AB ) – (overrightarrow GA + overrightarrow AC )$ $ = – (2overrightarrow AB + overrightarrow AC ).$Gọi $H$ là vấn đề sao cho $2overrightarrow HB + overrightarrow HC = 0.$Khi đó $2overrightarrow AB + overrightarrow AC $ $ = 2(overrightarrow AH + overrightarrow HB ) + (overrightarrow AH + overrightarrow HC )$ $ = 3overrightarrow AH .$Suy ra đẳng thức đang cho đổi mới $overrightarrow PG .overrightarrow 3AH = 0$ $ Leftrightarrow overrightarrow PG .overrightarrow AH = 0.$Vậy tập hợp điểm $P$ là mặt đường thẳng qua $G$ cùng vuông góc với $AH.$