Cách triển khai nhị thức Newton: tìm hệ số, số hạng trong khai triển rất hay

Với cách khai triển nhị thức Newton: tìm kiếm hệ số, số hạng trong khai triển rất hay Toán lớp 11 có đầy đủ phương pháp giải, ví dụ minh họa và bài tập trắc nghiệm tất cả lời giải chi tiết sẽ giúp học viên ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài tập khai triển nhị thức Newton: kiếm tìm hệ số, số hạng trong triển khai từ kia đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 11.

Bạn đang xem: Tìm số hạng chứa x trong khai triển

*

A. Cách thức giải

1. Cách làm nhị thức Niu-tơn

Với a, b là các số thực và n là sô nguyên dương, ta gồm :

*

Công thức trên được call là công thức nhị thức Newton (viết tắt là Nhị thức Newton).Quy ước: a0 = b0 = 1Chú ý :

Trong biểu thức sống vế phải của công thức (1)

+ Số những hạng tử là n + 1.

+ các hạng tử gồm số mũ của a bớt dần từ bỏ n mang đến 0, số nón của b tăng nhiều từ 0 mang đến n, dẫu vậy tổng những số mũ của a với b trong những hạng tử luôn bằng n.

+ những hệ số của mỗi hạng tử phương pháp đều hai hạng tử đầu cùng cuối thì bằng nhau.

Hệ trái :

*

Các dạng triển khai cơ bạn dạng nhị thức Newton

*

2. Tam giác Pascal.

*

Tam giác Pascal được thiết lập theo quy hiện tượng sau :

- Đỉnh được ghi số 1. Tiếp sau là hàng đầu tiên ghi nhì số 1.- ¬Nếu biết hàng lắp thêm n ( n≥1) thì hàng sản phẩm n+1tiếp theo được thiết lập bằng phương pháp cộng nhì số tiếp tục của hàng vật dụng n rồi viết công dụng xuống sản phẩm dưới ở đoạn giữa nhị số này. Tiếp nối viết số 1 ở đầu cùng cuối hàng.

Nhận xét :

*
3. Mở rộng của khai triển nhị thức Niu- tơn

Bước 1:Viết tam giác Pascal đến dòng thứ nđể có được hệ số của nhị thức Niuton (b+ c)n

Bước 2: Ở những đầu chiếc ta viết các đơn thức là triển khai nhị thức Newton

Bước 3: Nhân lần lượt các đơn thức ở đầu chiếc mỗi cột với những đơn thức sót lại trên mỗi dòng đó rồi cùng các kết quả lại, ta thu được hiệu quả khai triển.

Cụ thể ta gồm ở bên dưới đây

*

Chú ý 1:

*

Chú ý 2:

*

B. Lấy một ví dụ minh họa

Ví dụ 1: Tính hệ số x10y8 trong triển khai ( x + y)18?

A.43758 B.23145 C.45 D.12458

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Theo phương pháp nhị thức Niu- tơn; thông số chứa x10.y8 là:

*

Ví dụ 2: Tìm thông số của x4 trong triển khai ( 2x- 5)7

A.175000 B.–70000 C.70000 D.-175000

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

Ta có: (2x – 5)7 = < (2x + (-5)>7

Theo phương pháp nhị thức Niu-tơn; số hạng chứa x4 là:

*

Do đó thông số của x4 là:

*

Ví dụ 3: Trong khai triển nhị thức (x + 1)n+9. Có toàn bộ 17 số hạng. Vậy n bằng:

A.10B.17C.9D.12

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Chú ý: Số những số hạng của triển khai mũ n là n + 1.

Vậy triển khai (x+1)n+ 9 có toàn bộ 17 số hạng suy ra n + 9= 17 + 1.

⇔ n + 9= 18 nên n= 9

Ví dụ 4: Tìm thông số chứa x9 vào khai triển

(1+x)9+(1+x)10+(1+x)11+(1+x)12+(1+x)13+(1+x)14+(1+x)15

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

+ Trong triển khai (1+x)9 thì số hạng cất x9 là:

*

+ tương tự hệ số đựng x9 trong những khai triển ( 1+x)10; ( 1+ x)11; ( 1+ x)12; ...; ( 1+ x)15 là

*

Do đó; hệ số chứa x9 nên tìm là:

*
.

Ví dụ 5: Trong khai triển

*
, nhì số hạng cuối là:

*
.

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

Ta có:

*
là nhị số hạng sau cuối của khai triển

*

Ví dụ 6: Trong triển khai (2∛x+3√x )10,(x>0) số hạng chứa x4 sau khi khai triển là

A.1808640 B.1088640x4 C.1808460x4 D.207360

Hướng dẫn giải :

Đáp án : B

*

Ví dụ 7: thông số của số hạng chứa x9 trong triển khai (4/3-3x3)15 là

*

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

*

Ví dụ 8: Trong triển khai (1+ 3x)20 với số mũ tăng dần, hệ số của số hạng đứng vị trí trung tâm là:

*

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

*

Ví dụ 9: Nếu bốn số hạng đầu của một sản phẩm trong tam giác Pascal được lưu lại là:

1 16120560

A. 1 32 360 1680

B. 1 18 123 564

C. 1 17 137 697

D. 1 17 136 680

Khi kia 4 số hạng đầu của hàng tiếp đến là:

Hướng dẫn giải :

Đáp án : D

4 số hạng tiếp sau của tam giác Pascal là:

1 1+16=17 16+120=126 120+560=680

Ví dụ 10: Tổng của số hạng sản phẩm công nghệ 4 trong khai triển (5a-1)5 với số hạng lắp thêm 5 trong khai triển (2a- 3)6 là:

A.4160a2 B.-4160a2 C.4610a2 D.4620a2

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

*

Ví dụ 11: hệ số của số hạng đựng x4 trong triển khai P(x)=(3x2 + x + 1)10 là :

A.1695B.1485C.405D.360

Hướng dẫn giải :

Đáp án : A

*

Ví dụ 12: search số hạng đựng x13 trong khai triển thành những đa thức của (x + x2 + x3 )10 là :

A.180B.210C.210x13D. 180x3

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

+ với 0≤q≤p≤10 thì số hạng tổng thể của khai triển (x+x2+x3)10 là:

*

Ví dụ 13: Tìm hệ số chứa x10 trong khai triển (1+ x+ x2 + x3)5

A.98 B.84 C.101 D.121

Hướng dẫn giải :

Đáp án : C

Theo khai triển nhị thức Niu-tơn, ta có:

*
*
*

*

C. Bài tập trắc nghiệm

Câu 1: Số hạng không cất x trong triển khai là

*
*

Lời giải:

Đáp án : B

Ta gồm số hạng lắp thêm k+ một là :

*

Số hạng không cất x khớp ứng với: (60-5k)/6=0

⇔ 60 – 5k= 0 ⇔ k= 12.

Do vậy số hạng đề nghị tìm là:

*

Câu 2: Trong khai triển ( x - y)11, thông số của số hạng chứa x8y3 là:

*

Lời giải:

Đáp án : A

*

Câu 3: Trong khai triển nhị thức (2+ x)6 xét các xác minh sau:

I. Gồm tất cả 7 số hạng.

II. Số hạng sản phẩm công nghệ 3 là 16x.

III. Thông số của x5 là 12.

Trong các khẳng định trên

A. Chỉ I với III đúng

B. Chỉ II cùng III đúng

C. Chỉ I cùng II đúng

D. Cả bố đúng

Lời giải:

Đáp án : A

*

Câu 4: bao gồm bao nhiêu số hạng hữu tỉ trong triển khai

*
.

A.37B.38C.36D.39

Lời giải:

Đáp án : B

*

⇒ k= 8t ( với t nguyên)

Lại có: 0≤k≤300 phải 0≤8t≤300

⇔ 0≤t≤37,5. Nhưng mà t nguyên đề nghị t ∈ 0,1,2,3..., 37.

Có 38 giá trị nguyên của t thỏa mãn. Suy ra bao gồm 38 giá trị của k thỏa mãn.

⇒ bao gồm 38 số hạng hữu tỉ trong khai triển đang cho.

Câu 5: Tìm hệ số của x5 trong khai triển P(x) = ( x+1)6 +(x+ 1)7 + ( x+ 1)8 + ..+ (x+ 1)12 .

Xem thêm: Cách Tính Góc Giữa 2 Mặt Phẳng, Định Nghĩa Và Cách Xác Định Góc Giữa 2 Mặt Phẳng

A.1711B.1287C.1716D.1715

Lời giải:

Đáp án : D

*

Câu 6: Tìm thông số chứa x12 trong triển khai ( 3x+ x2)10

A.145654 B.298645 C.295245 D.Đáp án khác

Lời giải:

Đáp án :

Theo triển khai nhị thức Niu-tơn, ta gồm số hạng lắp thêm k+ một trong những khai triển là:

*

Câu 7: Khai triển đa thức P(x) = (5x - 1)2003 ta được :

P(x)= a2003.x2003 + a2002.x2002 + ...+ a1x+ a0.

Mệnh đề nào tiếp sau đây đúng?

*

Lời giải:

Đáp án : C

*

Câu 8: Tìm thông số chứa x4 trong khai triển (2x+ 1/2x)10

A.1960 B.1920 C.1864 D.1680

Lời giải:

Đáp án : B

*

*

Câu 9: search số hạng không cất x trong khai triển: ( xy2- 1/xy)8

A.70y4 B.25y4 C.50y5 D.80y4

Lời giải:

Đáp án :

Theo triển khai nhị thức Niu-tơn, ta có:

*

Số hạng không cất x ứng với: 8 - 2k=0 ⇔ k= 4⇒ số hạng nên tìm

*

Câu 10: tra cứu số hạng đứng vị trí tại chính giữa trong khai triển: ( x2+ xy)20

*

Lời giải:

Đáp án : D

Theo triển khai nhị thức Niu-tơn, ta có:

*

Câu 11: Khai triển nhiều thức: P(x)= ( 2 x- 1)1000 ta được:

P(x)= a1000x1000 + a999x999+ ....+ a1x+ a0 .Tính a1000 + a999 + ...+ a1 + a0 ?

A.-1 B.0 C.2 D.1

Lời giải:

Đáp án : D

Ta có: (x) = a1000x1000 + a999x999+ ....+ a1x+ a0

Cho x = 1 ta được P(1) = a1000 + a999 + a998 + ...+ a1+ a0 (1)

Mặt khác: P(x) = ( 2x-1)1000 bắt buộc P(1)= (2.1 – 1)1000 = 1 (2)

Từ (1) cùng (2) suy ra: a1000 + a999 + a998 + ...+ a1+ a0 = 1

Câu 12: Tìm thông số của x5 trong triển khai P(x) = x.(2+ x)5 + x2( 1 + x )10

A.110 B.120 C.130 D.140

Lời giải:

Đáp án : C

*

Câu 13: Số hạng không cất x trong triển khai (x2 + 1/x - 1)10 là

A.1951B.1950C.3150D.-360

Lời giải:

Đáp án : A

*

Câu 14: Số hạng cất x8 trong triển khai (x3 - x2 -1)8 là

A.168x8B.168C.238x8 D.238

Lời giải:

Đáp án : D

*

Câu 15: Tìm hệ số của x5 trong triển khai P(x)= (1+ x)+ 2(1+x)2 + ...+ 8(1+x)8

A.487 B.636 C.742 D.568

Lời giải:

Đáp án : B

Các biểu thức ( 1 + x ) ; 2( 1 + x )2 ; 3(1+x)3 ; 4(1+ x)4 không cất số hạng chứa x5Hệ số của số hạng đựng x5 trong triển khai 5(1+x)5 là

*