Trong đều năm gần đây nhị thức Newton là một trong những nội dung thi đại học. Bài viết này nhằm reviews hai dạng toán cơ bạn dạng nhất về nhị thức Newton thường chạm mặt trong những đề thi đại học.

Bạn đang xem: Tìm hệ số trong khai triển

A. KIẾN THỨC LIÊN QUAN.

Công thức triển khai nhị thức Newton:
*
,
*
.Công thức số tổ hợp:
*
,
*
.Tính chất lũy thừa:
*
.

B. CÁC DẠNG TOÁN.

DẠNG 1: Tìm số hạng chứa

*
trong khai triển
*
.

Phương pháp.

Viết khai triển
*
;Biến đổi khai triển thành
*
;Số hạng đựng
*
tương ứng với số hạng cất
*
thỏa
*
.Từ đó suy ra số hạng phải tìm.

Ví dụ 1. Tìm hệ số của

*
vào khai triển đa thức:

*

Lời giải.

Ta tất cả

*
.

Số hạng chứa

*
tương ứng với số hạng cất
*
thỏa
*
.

Vậy thông số của số hạng cất

*
*
.

Ví dụ 2. (D-04) tìm kiếm số hạng không đựng

*
trong triển khai thành đa thức của biểu thức:

*
x + \frac1\sqrt<4>x} \right)^7},x > 0" class="latex" />

Lời giải.

Ta gồm

*
x + \frac1\sqrt<4>x} \right)^7} = \left( x^\frac13 + x^ - \frac14 \right)^7 = \sum\limits_k = 0^7 C_7^k\left( x^\frac13 \right)^7 - k \left( x^ - \frac14 \right)^k = \sum\limits_k = 0^7 C_7^kx^\frac73 - \frac7k12" class="latex" />.

Số hạng không đựng

*
tương xứng số hạng cất
*
thỏa
*
.

Vậy số hạng không chứa

*
*
.

Ví dụ 3. (A-03) Tìm hệ số của số hạng đựng

*
trong triển khai
*
, biết:

*

Lời giải.

Theo giả thiết có:

*

*
.

Khi đó

*
.

Số hạng đựng

*
tương xứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy thông số của số hạng cất

*
*
.

Ví dụ 4. (A-04) Tìm thông số của

*
trong triển khai thành đa thức của biểu thức:

*

Lời giải.

Ta bao gồm khai triển:

*
}^k}} = \sum\limits_k = 0^8 C_8^kx^2k(1 - x)^k" class="latex" />

*
.

Số hạng chứa

*
tương xứng số hạng đựng
*
*
thỏa
*
.

*
yêu cầu
*
hoặc
*
.

Vậy thông số của số hạng chứa

*
*
.

DẠNG 2. Ứng dụng của nhị thức Newton trong số bài toán liên quan đến

*
.

Phương pháp.

Chọn một khai triển
*
phù hợp, tại chỗ này
*
là hằng số.Sử dụng những phép thay đổi đại số hoặc mang đạo hàm, tích phân.Dựa vào điều kiện bài toán, cầm
*
vì chưng một giá chỉ trị nuốm thể.

Ví dụ 5. (D-02) kiếm tìm số nguyên dương

*
bằng lòng hệ thức:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Chọn

*
ta bao gồm
*
.

Lại theo mang thiết ta gồm

*
.

Ví dụ 6. (A-06) Tìm hệ số của

*
trong khai triển 
*
, biết:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Chọn

*
ta tất cả
*
.

Lại tất cả

*
đề xuất
*
.

Lại theo mang thiết bao gồm

*
.

Khi đó

*
.

Số hạng cất

*
tương xứng số hạng chứa
*
thỏa
*
.

Vậy hệ số của số hạng chứa

*
*
.

Ví dụ 7. (D-08) tìm kiếm số nguyên dương

*
tán thành hệ thức:

*

Lời giải.

Xét khai triển

*
.

Chọn theo lần lượt

*
cùng
*
ta bao gồm
*
.

Trừ theo vế (1) cùng (2) ta gồm

*
.

Lại theo trả thiết gồm

*
.

Ví dụ 8. (A-05) tìm số nguyên dương

*
thỏa mãn:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy đạo hàm nhị vế được

*
.

Thay

*
ta có
*
.

Theo mang thiết ta gồm

*
.

Ví dụ 9. minh chứng rằng:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy đạo hàm cấp ba hai vế ta có:

*
.

Chọn

*
ta tất cả
*
(đpcm).

Ví dụ 10. (B-03) mang lại

*
là số nguyên dương. Tính tổng:

*

Lời giải.

Xét triển khai

*
.

Lấy tích phân từ một đến 2 cả nhị vế ta có:

*

*
.

Vậy

*
.

BÀI TẬP TƯƠNG TỰ

1. Tìm thông số của số hạng đựng

*
trong khai triển biểu thức
*
.

2. (A-2012) mang đến

*
là số nguyên dương thỏa mãn
*
.

Tìm số hạng đựng

*
trong khai triển nhị thức Newton của
*
.

3. (A-02) mang đến khai triển biểu thức

*

biết rằng vào khai triển kia

*
và số hạng sản phẩm tư bằng
*
. Tìm kiếm
*
với
*
.

4. (D-07) Tìm hệ số của

*
trong khai triển thành nhiều thức của biểu thức:

*

5.

Xem thêm: Cách Tính Chu Kì Của Hàm Số Lượng Giác, Cách Tìm Chu Kì Của Hàm Số Lượng Giác

(D-03) cùng với

*
là số nguyên dương, gọi
*
là hệ số của
*
trong triển khai thành đa thức của
*
. Tìm kiếm
*
nhằm
*
.