Một số bài toán về phương trình lượng giác mà cách giải tuỳ theođặc thù của phương trình, chứ không nằm tại vị trí trong cách thức đã nêu ởhầu hết các sách giáo khoa.




Bạn đang xem: Phương trình lượng giác không mẫu mực

*

PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC CÓ CÁCH GIẢI KHÔNG MẪU MỰC A.PHƯƠNG PHÁP GIẢI một số trong những bài toán về phương trình lượng giác mà giải pháp giải tuỳ theođặc thù của phương trình, chứ không nằm ở trong cách thức đã nêu ởhầu hết những sách giáo khoa. Một số phương trình lượng giác biểu thị tính không mẫu mã mực ởngay dạng của chúng, nhưng cũng có những phương trình ta thấy dạng rấtbình hay nhưng biện pháp giải lại không mẫu mực. Sau đấy là những phương trình lượng giác bao gồm cách giải không mẫumực thường xuyên gặp. I.PHƯƠNG PHÁP TỔNG BÌNH PHƯƠNG phương thức này nhằm biến hóa phương trình lượng giác về dạngmột vế là tổng bình phương các số hạng (hay tổng những số hạng không âm)và vế còn lại bằng ko và áp dụng tính chất: A = 0 A2 + B 2 = 0 ⇔  B = 0 bài xích 1. Giải phương trình: 3 rã 2 x + 4 sin 2 x − 2 3 rã x − 4 sin x + 2 = 0 GIẢI 3 tung x + 4 sin x − 2 3 tan x − 4 sin x + 2 = 0 2 2 ⇔ 3 rã 2 x − 2 3 chảy x + 1 + 4 sin 2 x − 4 sin x + 1 = 0 ⇔ ( 3 tung x − 1) 2 + ( 2 sin x − 1) 2 = 0  3 rã x − 1 = 0 ⇔ 2 sin x − 1 = 0  3 tan x =  3 ⇔ sin x = 1   2 π   x = 6 + mπ  ( m, n ∈ Z ) ⇔ π  x = + 2nπ   6 1 π + 2kπ (k ∈ Z ) ĐS x = 6 II.PHƯƠNG PHÁP ĐỐI LẬP phương thức này được sản xuất trên tính chất: Để giải phương trìnhf ( x) = g ( x) , ta có thể nghĩ đến việc minh chứng tồn trên A → R:f ( x) ≥ A, ∀x ∈ (a, b) cùng g ( x) ≤ A, ∀x ∈ (a, b) thì khi đó:  f ( x) = A f ( x ) = g ( x) ⇔   g ( x) = A nếu như ta chỉ có f ( x) > A với g ( x) 0, ∀x ∈ < − 1,1> ⇒ − cos 5 x 0 và − cos 5 x π Vậy nghiệm của phương trình là: x = k (k ∈ Z ) 2 π ĐS x = k (k ∈ Z ) 2 Áp dụng phương pháp đối lập, ta có thể suy ra phương pháp giải cấp tốc chóngnhững phương trình lượng giác ở các dạng quan trọng đặc biệt dưới đây: sin ax = 1  sin bx = 1 • sin ax. Sin bx = 1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = −1  sin ax = 1  sin bx = −1 • sin ax. Sin bx = −1 ⇔  sin ax = −1  sin bx = 1  phương pháp giải tương tự như cho các phương trình ở trong dạng: cos ax. Cos bx = 1 cos ax. Cos bx = −1 sin ax. Cos bx = 1 sin ax. Cos bx = −1 III. PHƯƠNG PHÁP ĐOÁN NHẬN NGHIỆM VÀ CHỨNGMINH TÍNH DUY NHẤT CỦA NGHIỆM Tuỳ theo phương thức và điều kiện của phương trình, ta tính nhẩm mộtnghiệm của phương trình, sau đó minh chứng nghiệm này là tốt nhất bằngmột trong những cách thông sụng sau: • Dùng tính chất đại số • Áp dụng tính 1-1 điệu của hàm số Phương trình f ( x) = 0 có 1 nghiệm x = α ∈ (a, b) cùng hàm f đối kháng điệutrong (a, b) thì f ( x) = 0 tất cả nghiệm độc nhất là x = α . Phương trình f ( x) = g ( x) có một nghiệm x = α ∈ (a, b) , f ( x) tăng (giảm)trong (a, b) , g ( x) sút (tăng) vào (a, b) thì phương trình f ( x) = g ( x) cónghiệm x = α là duy nhất. Bài xích 4. Giải phương trình: x2 với x > 0 cos x = 1 − 2 3 GIẢI Ta thấy tức thì phương trình có một nghiệm x = 0 . X2 Đặt f ( x) = cos x + − 1 là biểu thức của hàm số gồm đạo hàm 2f " ( x) = − sin x + x > 0, ∀x > 0 (vì x > sin x , ∀x ) ⇒ Hàm f luôn luôn đơn điệu tăng trong ( 0,+ ∞) ⇒ f ( x) = 0 có một nghiệm nhất trong ( 0,+ ∞) Vậy phương trình vẫn cho có một nghiệm duy nhất x = 0 . B.CÁC BÀI TOÁN CƠ BẢN bài xích 1: Giải phương trình: x 2 − 2 x cos x − 2 sin x + 2 = 0 (1) GIẢI Ta có (1) ⇔ x − 2 x cos x + cos x + sin 2 x − 2 sin x + 1 = 0 2 2 ⇔ ( x − cos x) 2 + (sin x − 1) 2 = 0  x − cos x = 0 ⇔ sin x − 1 = 0 cos x = x ⇔ sin x = 1 Phương trình vô nghiệm. Bài bác 2: Giải phương trình: sin 4 x + cos15 x = 1 GIẢI Ta có: sin x + cos x = 1 4 15 ⇔ sin 4 x + cos15 x = sin 2 x + cos 2 x ⇔ sin 2 x(sin 2 x − 1) = cos 2 x(1 − cos13 x) (1) vị sin 2 x(sin 2 x − 1) ≤ 0, ∀x và cos 2 x(1 − cos13 x) ≥ 0, ∀x 2 sin x (sin x − 1) = 0 2 do đó (1) ⇔  2 cos x(1 − cos13 x) = 0  4 sin x = 0  sin x = ±1 ⇔ cos x = 0 cos x = 1    x = mπ   x = π + mπ  2 ⇔ ( m, n ∈ Z )  x = π + nπ  2  x = 2nπ  π + kπ xuất xắc x = 2kπ , (k ∈ Z ) ĐS x = 2C.CÁC BÀI TOÁN NÂNG CAO VÀ ĐỀ THIBài 3: Giải các phương trình: π 1 sin 4 x + cos 4 ( x + ) = (1) 1. 4 4 1 (tan x + cot x ) n = cos n x + sin n x(n = 2,3,4,...) 2. 4 GIẢI1. Ta có: 2 π  1 + cos(2 x + 2 )(1) (1 − cos 2 x) 2  =1 + ⇔ 4 4 4 ⇔ (1 − cos 2 x) + (1 − sin 2 x ) = 1 2 2 ⇔ cos 2 x + sin 2 x = 1 π 2 ⇔ cos(2 x − )= 4 2  x = kπ ⇔ (k ∈ Z )  x = π + kπ  4 π2.Với điều kiện x ≠ k ta tất cả tan x cùng cot x luôn cùng dấu nên: 2 n 1 1 1 1 tung x + cot x = tan x + cot x ≥ 2 tung x ⋅ cot x = 1 ⇒ tung x + cot x ≥ 1 4 4 4 4 5 1 1 1Dấu "=" xảy ra ⇔ chảy x = cot x ⇔ chảy 2 x = ⇔ chảy x = ± 4 4 2 2   1 • với n = 2 : phương trình  tan x + cot x  = 1 có nghiệm mang đến   4 bởi: 1 1 ⇔ x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) tung x = ± 2 2 • với n ∈ Z , n > 2 thì:cos x + sin n x ≤ cos 2 x + sin 2 x = 1 n π   x = k 2 lúc n = 2mDấu bằng xảy ra ⇔  (k , m ∈ Z )  x = 2kπ xuất xắc x = π + 2kπ khi n = 2m + 1   2 π(đều ko thoả mãn điều kiện x ≠ k của phương trình) 2Vậy với n > 2, n ∈ Z thì phương trình vô nghiệm.

Xem thêm: Lý Thuyết Định Nghĩa Tính Chất Của Hai Mặt Phẳng Song Song Với Mặt Phẳng

1 ĐS x = ± arctan + kπ (k ∈ Z ) 2Bài 4: Giải phương trình: 1 1 − 1 + cos 3 x − 1 = 1 (1)cos x cos x cos 3x GIẢI cos x > 0Điều kiện:  cos 3 x > 0Khi kia (1) ⇔ cos x − cos 2 x + cos 3x − cos 2 3x = 1 1 1 1Vì a 2 − a + = (a − ) 2 ≥ 0 ⇒ a − a 2 ≤ 4 2 4 1 1Do đó cos x − cos 2 x ≤và cos 3x − cos 2 3x ≤ 4 4 1 1⇒ cos x − cos 2 x ≤ và cos 3 x − cos 2 3 x ≤ 2 2   1 1 cos x − cos x = 4 cos x = 2 2  Dấu bằng xẩy ra ⇔  ⇔ ⇔ x∈∅ cos 3 x − cos 2 3 x = 1 cos 3 x = 1     4 2Vậy phương trình (1) vô nghiệm. 6 D.CÁC BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ bài bác 1: Giải phương trình: sin 3 x + cos 3 x = 2 − sin 4 x HƯỚNG DẪN sin x ≤ sin x , ∀x 3 2 cos 3 x ≤ cos 2 x , ∀x ⇒ sin 3 x + cos 3 x ≤ 1 , ∀x 2 − sin 4 x ≥ 1 , ∀x sin 3 x + cos 3 x = 1  Vậy phương trình tương đương:  2 − sin 4 x = 1  π ĐS x = + 2kπ (k ∈ Z ) 2 bài bác 2: Giải phương trình: π sin x + tung x − 2 x = 0 với 0 ≤ x ≤ 2 HƯỚNG DẪN dễ thấy phương trình có một nghiệm x = 0  π Đặt f ( x) = sin x + chảy x − 2 x liên tục trên 0;   2  π (cos x − 1)(cos x − cos x − 1) 2 có đạo hàm: f " ( x) = ≥ 0 , ∀x ∈ 0;  bởi vì 2  2 cos x1− 5 1+ 5 x 2 − 2 sin xy + 1 = 0 x = 1  x = −1   (k ∈ Z )ĐS  π π giỏi   y = 2 + 2kπ  y = 2 + 2kπ   89