I. Lý thuyết về đường thẳng trong ko gian

1. Phương trình tham số và phương trình thiết yếu tắc của đường thẳng

*

2. Vị trí tương đối của 2 đường thẳng trong không gian

*

3. Vị trí tương đối của đường thẳng với mặt phẳng

*

4. Góc giữa 2 đường thẳng

*

5. Góc giữa đường thẳng cùng mặt phẳng

*

6. Khoảng biện pháp từ 1 điểm tới 1 đường thẳng

*

* cách tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng (Q)qua M1và vuông góc với Δ.

Bạn đang xem: Phương trình đường thẳng lớp 12

- tìm kiếm tọa độ giao điểm H củaΔvà mặt phẳng (Q).

- d(M1,Δ) = M1H

* phương pháp tính 2:

*

7. Khoảng giải pháp giữa 2 đường thẳng chéo cánh nhau

*

* phương pháp tính 1:

- Viết phương trình mặt phẳng(Q)chứa (Δ)và tuy vậy song với (Δ1).

- Tính khoảng bí quyết từ M0M1tới mặt phẳng (Q).

- d(Δ,Δ1) = d(M1,Q)

* phương pháp tính 2:

*

II. Các dạng bài bác tập về đường thẳng trong không gian

Dạng 1: ViếtPT đường thẳng (d) sang 1 điểm và gồm VTCP

*

Phương pháp:

*

Lời giải:

*

Dạng 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm A, B

Phương pháp

*

Ví dụ: Viết PTĐT (d) đi qua các điểm A(1; 2; 0), B(–1; 1; 3);

Lời giải:

*

Dạng 3: Viết PT đường thẳng đi qua A và song song với đường thẳngΔ

Phương pháp

*

Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng đi qua A(2;1;-3) và song song với đường thẳng Δ:

*

Lời giải:

*

Dạng 4: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A và vuông góc với mp (∝).

Phương pháp

*

Ví dụ: Viết PT đường thẳng (d)đi qua A(1;1;-2) cùng vuông góc với mp (P): x-y-z-1=0

Lời giải:

*

Dạng 5: Viết PT đường thẳng (d) đi qua A cùng vuông góc với 2 đường thẳng (d1), (d2).

Phương pháp:

*

Ví dụ: Trong không gian Oxyz, viết phương trình tham số của đường thẳng d biết d đi qua điểm M(1;-3;2) vuông góc với d1:

*

Dạng 6: Viết PT đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mp

- mp (P): Ax + By + Cz + D = 0 với (Q): A"x + B"y + C"z + D" = 0;

Phương pháp:

+ cách giải 1:

*

+ cách giải 2:

- Bước 1: tìm toạ độ 2 điểm A, B∈ d. (Tìm 2 nghiệm của hệ 2 PT trên)

- Bước 2: Viết PT đường thẳng đi qua 2 điểm AB.

+ biện pháp giải 3:

- Đặt một trong những 3 ẩn bằng t (chẳng hạn x = t), giải hệ 2 PT với 2 ẩn còn lại theo t rồi suy ra PT tham số của d.

Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng (d) là giao tuyến của 2 mặt phằng(P): 2x+y-z-3=0 và(Q): x+y+z-1=0.

Lời giải:

*

Dạng 7: Viết PT hình chiếu của đường thẳng (d) lên mp (P).

Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(Q) chứa d với vuông góc với mp (P).

- Bước 2: Hình chiếu cần search d’= (P)∩(Q)

- Chú ý:Nếu d⊥(P) thì hình chiếu của d làđiểm H=d∩(P)

*

Lời giải:

-Mặt phẳng Q đi qua d bao gồm phương trình dạng: m(x-2z) + n(3x-2y+z-3)=0

⇔ (m+3n)x - 2ny + (-2m+n)z - 3n = 0

Q⊥ P⇔ 1.(m+3n) - 2(-2n) + 1.(-2m+n) = 0

⇔ m + 3n + 4n - 2m + n = 0⇔ -m + 8n = 0

Chọn m = 8 thì n = 1 ta được phương trình mp (Q): 11x - 2y - 15z - 3 = 0

- vày hình chiếu d’ của d trên phường nên d"là giao tuyến của phường và Q,phương trình của d’ sẽ là:

*

Dạng 8 : Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A cùng cắt nhì đường thẳng d1, d2

Phương pháp

+ phương pháp giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A và chứa đường thẳng d1.

- Bước 2: tìm giao điểm B = (α)∩ (d2)

- Bước 3: Đường thẳng cần search là đt đi qua 2 điểm A, B.

+ giải pháp giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) đi qua điểm A với chứa đường thẳng d1

- Bước 2: Viết PT mặt phẳng (β) đi qua điểm A cùng chứa đường thẳng d2.

- Bước 3: Đường thẳng cần tra cứu d’= (α)∩ (β)

+ giải pháp giải 3:

- Bước 1: kiếm tìm toạ độ giao điểm B của d với d1 cùng C của d với d2

- Bước 2:Từ điều kiện 3 điểm thẳng mặt hàng tính được toạ độ B, C

- Bước 3: Viết PT (d) đi qua 2 điểm

Ví dụ: Trong không khí Oxyz, viết PT của đường thẳng d biết d đi qua điểm A(1;1;0) với cắt cả 2 đường thẳng d1:

*

Lời giải:

- Gọi B, C lần lượt là các điểm cùng d cắt d1 với d2, ta có toạ độ B(1+t;-t;0) với C(0;0;2+s)

*

Dạng 9: Viết PT đường thẳng d tuy vậy song với d1và cắt cả nhị đường thẳng d2và d3.

Phương pháp

- Bước 1: Viết PT mp(P) song song với d1và chứa d2.

- Bước 2: Viết PT mp(Q) tuy vậy song với d1và chứa d3.

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm kiếm d = (P)∩ (Q)

Ví dụ:Viết phương trình đường thẳng(d)song tuy nhiên với trụcOxvà cắt(d1),(d2)có PT:

*

Lời giải:

*

Dạng 10: Viết PT đường thẳng d đi qua điểm A, vuông góc đường thẳng d1và cắt đường thẳng d2

Phương pháp

+ phương pháp giải 1:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (α) qua điểm A với vuông góc đường thẳng d1.

- Bước 2: tra cứu giao điểm B = (α)∩ (d2)

- Bước 3: Đường thẳng cần tra cứu là đường thẳng đi qua 2 điểm A, B.

+ bí quyết giải 2:

- Bước 1: Viết PT mp (α) đi qua điểm A cùng vuông góc với d1.

- Bước 2: Viết PT mp (β) đi qua điểm A và chứa d2.

- Bước 3: Đường thẳng cần kiếm tìm d = (α)∩ (β)

*

Lời giải:

- PT mp (P)⊥ d2 cần nhận VTCP d2 làm cho VTPT nên tất cả PT:2x - 5y + z + D = 0

- PT mp (P) đi qua M(1;1;1) đề nghị có: 2.1 - 5.1 + 1 + D = 0⇒ D = 2

⇒ PT mp (P):2x - 5y + z + 2 = 0

- Toạ độ giao điểm A của d1 và mp(P) là: (-5;-1;3)

*

Dạng 11 : Lập đường thẳng d đi qua điểm A , tuy nhiên song mp (α) với cắt đường thẳng d’

Phương pháp:

+ cách giải 1:

- Bước 1: Viết PT mp (P) đi qua điểm A và song song với mp (α).

- Bước 2: Viết PT mp (Q) đi qua điểm A với chứa đường thẳng d’.

- Bước 3: Đường thẳng cần kiếm tìm d = (P)∩ (Q)

+ biện pháp giải 2:

- Bước 1: Viết PT mặt phẳng (P) qua điểm A và tuy nhiên song mặt phẳng (α)

- Bước 2: tìm kiếm giao điểm B = (P)∩ d’

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm kiếm d đi qua hai điểm A với B.

*

Lời giải:

*

Dạng 12: Viết PT đường thẳng d nằm vào mp (P) và cắt hai đường thẳng d1, d2cho trước .

Phương pháp:

- Bước 1: kiếm tìm giao điểm A = d1∩(P); B = d2∩(P)

- Bước 2: d là đường thẳng qua hai điểm A và B .

Ví dụ: cho 2 đường thẳng:

*

và mặt phẳng (P): x - y - 2z + 3 = 0; Viết phương trình đường thẳngΔ nằm trong mặt phẳng (P) với cắt 2 đường thẳng d1 , d2;

Lời giải:

*

- Gọi A = d1∩(P); B = d2∩(P) thì tọađộ của A và B là: A(-1+2t;1-t;1+t) cùng B(1+s;2+s;-1+2s)

- Ta lại có: A∈(P) nên: (-1+2t)-(1-t)-2(1+t)+3=0⇔ t = 1⇒ A(1;0;2)

- Tương tự: B∈(P) nên: (1+s)-(2+s)-2(-1+2s)+3=0⇔ s = 1⇒ B(2;3;1)

*

Dạng 13: Viết PT đường thẳng d nằm trong mp (P) với vuông góc đường thẳng d’ mang đến trước tại giao điểm I của d’ cùng mp (P).

Phương pháp

*

Dạng 14: Viết PT đường thẳng d vuông góc với nhì đường thẳng chéo nhau d1, d2.

Phương pháp

+ biện pháp giải 1:

*

- Bước 4: Đường thẳng cần tra cứu d = (P)∩ (Q). (Lúc này ta chỉ cần search thêm 1điểm M thuộc d).

+ giải pháp giải 2:

- Bước 1: Gọi M(x0+at; y0+bt; z0+ct)∈ d1; N(x0"+a’t’; y0’+b’t’; z0’+c’t’)∈ d2là chân cácđường vuông góc phổ biến của d1và d2.

- Bước 2: Ta có

*

- Bước 3: rứa t cùng t’ tìm kiếm được vào toạ độ M, N kiếm tìm được M, N. Đường thẳng cần search d là đường thẳng đi qua 2 điểm M, N.

- chú ý : phương pháp 2 mang đến ta tra cứu được ngay lập tức độ nhiều năm đoạn vuông góc bình thường của hai đường thẳng chéo cánh nhau.

*

Lời giải:

*

Dạng 15: Viết PT đường thẳng d vuông góc với mp(P) cùng cắt cả hai đường thẳng d1và d2.

Phương pháp:

- Bước 1: Viết PT mp(P) chứa d1và vuông góc với (P).

- Bước 2: Viết PT mp(Q) chứa d2và vuông góc với (P).

- Bước 3: Đường thẳng cần tìm d = (P)∩ (Q).

*

Lời giải:

*

Dạng 16: Lập PT đường thẳng d đi qua điểm A , cắt cùng vuông góc với đường thẳng d.

Xem thêm: Phương Pháp Tìm Cực Trị Của Hàm Số Có Trị Tuyệt Đối Cực Hay, Có Lời Giải

Phương pháp:

- Đây là trường hợp đặc biệt của dạng 10, phương pháp tương tự dạng 10.