Lý thuyết số lượng giới hạn của hàng số lớp 11 gồm kim chỉ nan chi tiết, ngắn gọn và bài bác tập trường đoản cú luyện tất cả lời giải chi tiết sẽ giúp học viên nắm vững kỹ năng và kiến thức trọng trung ương Toán 11 bài xích 1: giới hạn của dãy số.

Bạn đang xem: Lý thuyết giới hạn dãy số


Lý thuyết Toán 11 bài xích 1: giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 bài 1: số lượng giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói hàng số (un) có số lượng giới hạn là 0 khi n dần dần tới dương vô cực, trường hợp |un| bao gồm thể bé dại hơn một trong những dương nhỏ xíu tuỳ ý, tính từ lúc một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:limn→+∞un=0hay un→ 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. cho dãy số (un) với un=−1nn2. Tìm số lượng giới hạn dãy số

Giải

Xétun=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

⇒un=1n2=1n21100⇒limn→∞un=0

Định nghĩa 2

Ta nói hàng số (vn) có số lượng giới hạn là a (hay vndần cho tới a) khi n → +∞ nếulimn→+∞vn−a=0

Kí hiệu:limn→+∞vn=ahay vn→ a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho hàng số vn=−n−13+2n. Chứng tỏ rằng limn→∞vn=−12.

Giải

Ta cólimn→∞vn+12=limn→∞−n−13+2n+12=limn→∞=123+2n=0

Do đó: limn→∞vn=−12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

b)limn→+∞qnnếu |q|

c) nếu như un= c (c là hằng số) thìlimn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý:Từ nay trong tương lai thay cholimn→+∞un=ata viết tắt là lim un= a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) nếu như lim un= a và lim vn= b thì

lim (un+ vn) = a + b

lim (un– vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab(nếu b≠0)

Nếu un≥0với phần lớn n và limun­ = a thì:

limun=a vàa≥0.

Ví dụ 3. Tínhlimn2−2n+1

Giải

limn2−2n+1=limn3+n2−2n+1=lim1+1n−2n31n2+1n3=lim1+1n−2n3:lim1n2+1n3=lim1+lim1n−lim2n3:lim1n2+lim1n3=+∞

Ví dụ 4. Tìmlim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) gồm công bội q, cùng với |q|

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11−qq1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp cho số nhân lùi vô hạn1;−12;14;−18;...;−12n−1;...

Giải

Ta có dãy số1;−12;14;−18;...;−12n−1;... Là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=−12.

Khi đó ta có:

*

*

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ lúc n → +∞, nếu uncó thể to hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un= +∞ hay un→ +∞ lúc n → +∞.

- dãy số (un) có giới hạn là –∞ lúc n → +∞, trường hợp lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un= –∞ tốt un→ –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un= +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta bằng lòng các công dụng sau

a) lim nk= +∞ cùng với k nguyên dương;

b) lim qn= +∞ nếu như q > 1.

3. Định lí 2

a) giả dụ lim un= a cùng lim vn= ±∞ thìlimunvn=0

b) giả dụ lim un= a > 0, lim vn= 0 với vn> 0, ∀ n > 0 thìlimunvn=+∞

c) nếu lim un= +∞ và lim nước ta = a > 0 thìlimun.vn=+∞

Ví dụ 6. Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

Vì lim2n=+∞vàlim1n=0

⇒lim2n+1n=+∞

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)lim2n+8n−9;

b)lim4−n3−12n21+2n3;

c)lim3n−4n+12.4n+2n.

Lời giải

a)lim2n+8n−9=lim2+8n1−9n=2.

b)

lim4−n3−12n21+2n3=lim4n3−1−12n1n3+2=−12.

c)

lim3n−4n+12.4n+2n=lim34n−1+14n2+12n=−12.

Bài 2. tra cứu số hạng bao quát của cấp cho số nhân lùi vô hạn tất cả công bội là 23và tính tổng của cung cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng tổng quát của cung cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n.

Suy ra số hạng trước tiên của dãy là:u1=1

Khi đó tổng cung cấp số nhân lùi vô hạn là:S=u11−q=11−23=113=3.

Vậy số hạng bao quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:un=23n và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết dãy số (un) vừa lòng un−11n3với mọi n. Minh chứng rằng limun = 1.

Lời giải

Đặt nước ta = un - 1

Chọn số dương nhỏ xíu tùy ý d, tồn tạin0=1d3+1 với đa số n≥n0sao cho:

vn1n31n03=11d3+1311d33=d

Theo khái niệm ta có: limvn = 0.

Do đó: lim (un – 1) = 0

⇒limun=1.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn2+n−n2−1;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Đẳng Cấp Bậc 2, Bậc 3 Lượng Giác Cực Hay

Lời giải

a)

limn2+n−n2−1=limn2+n−n2−1n2+n+n2−1n2+n+n2−1=limn+1n2+n+n2−1=lim1+1n1+1n+1−1n2=11+1=12.

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) =limn31+2n−1n2+1n3=limn3.lim1+2n−1n2+1n3=∞