Lý thuyết Giới hạn của dãy số lớp 11 gồm lý thuyết chi tiết, ngắn gọn và bài tập tự luyện có lời giải chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số.

Bạn đang xem: Lý thuyết giới hạn dãy số


Lý thuyết Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

Bài giảng Toán 11 Bài 1: Giới hạn của dãy số

A. LÝ THUYẾT

I. GIỚI HẠN HỮU HẠN CỦA DÃY SỐ

1. Định nghĩa

Định nghĩa 1

Ta nói dãy số (un) có giới hạn là 0 khi n dần tới dương vô cực, nếu |un| có thể nhỏ hơn một số dương bé tuỳ ý, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu:limn→+∞un=0hay un→ 0 khi n → +∞.

Ví dụ 1. Cho dãy số (un) với un=−1nn2. Tìm giới hạn dãy số

Giải

Xétun=1n2=1n2

Với n > 10 n2 > 102 = 100

⇒un=1n2=1n21100⇒limn→∞un=0

Định nghĩa 2

Ta nói dãy số (vn) có giới hạn là a (hay vndần tới a) khi n → +∞ nếulimn→+∞vn−a=0

Kí hiệu:limn→+∞vn=ahay vn→ a khi n → +∞.

Ví dụ 2. Cho dãy số vn=−n−13+2n. Chứng minh rằng limn→∞vn=−12.

Giải

Ta cólimn→∞vn+12=limn→∞−n−13+2n+12=limn→∞=123+2n=0

Do đó: limn→∞vn=−12.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a)limn→+∞1n=0,limn→+∞1nk=0 với k nguyên dương;

b)limn→+∞qnnếu |q|

c) Nếu un= c (c là hằng số) thìlimn→+∞un=limn→+∞c=c.

Chú ý:Từ nay về sau thay cholimn→+∞un=ata viết tắt là lim un= a.

II. ĐỊNH LÝ VỀ GIỚI HẠN HỮU HẠN

Định lí 1

a) Nếu lim un= a và lim vn= b thì

lim (un+ vn) = a + b

lim (un– vn) = a – b

lim (un.vn) = a.b

limunvn=ab(nếu b≠0)

Nếu un≥0với mọi n và limun­ = a thì:

limun=a vàa≥0.

Ví dụ 3. Tínhlimn2−2n+1

Giải

limn2−2n+1=limn3+n2−2n+1=lim1+1n−2n31n2+1n3=lim1+1n−2n3:lim1n2+1n3=lim1+lim1n−lim2n3:lim1n2+lim1n3=+∞

Ví dụ 4. Tìmlim2+9n21+4n

Giải

lim2+9n21+4n=limn22n2+9n1n+4=limn2n2+9n1n+4=lim2n2+91n+4=34.

III. TỔNG CỦA CẤP SỐ NHÂN LÙI VÔ HẠN

Cấp số nhân vô hạn (un) có công bội q, với |q|

Tổng của cấp số nhân lùi vô hạn:

S=u1+u2+u3+...+un+...=u11−qq1

Ví dụ 5. Tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn1;−12;14;−18;...;−12n−1;...

Giải

Ta có dãy số1;−12;14;−18;...;−12n−1;... là một số cấp số nhân lùi vô hạn với công bội q=−12.

Khi đó ta có:

*

*

IV. GIỚI HẠN VÔ CỰC

1. Định nghĩa

- Ta nói dãy số (un) có giới hạn là +∞ khi n → +∞, nếu uncó thể lớn hơn một số dương bất kì, kể từ một số hạng nào đó trở đi.

Kí hiệu: lim un= +∞ hay un→ +∞ khi n → +∞.

- Dãy số (un) có giới hạn là –∞ khi n → +∞, nếu lim (–un) = +∞.

Kí hiệu: lim un= –∞ hay un→ –∞ khi n → +∞.

Nhận xét: un= +∞ ⇔ lim(–un) = –∞

2. Một vài giới hạn đặc biệt

Ta thừa nhận các kết quả sau

a) lim nk= +∞ với k nguyên dương;

b) lim qn= +∞ nếu q > 1.

3. Định lí 2

a) Nếu lim un= a và lim vn= ±∞ thìlimunvn=0

b) Nếu lim un= a > 0, lim vn= 0 và vn> 0, ∀ n > 0 thìlimunvn=+∞

c) Nếu lim un= +∞ và lim vn = a > 0 thìlimun.vn=+∞

Ví dụ 6. Tính lim2n+1n.

Giải

lim2n+1n=lim2n+lim1n

Vì lim2n=+∞vàlim1n=0

⇒lim2n+1n=+∞

B. BÀI TẬP

Bài 1. Tính các giới hạn sau:

a)lim2n+8n−9;

b)lim4−n3−12n21+2n3;

c)lim3n−4n+12.4n+2n.

Lời giải

a)lim2n+8n−9=lim2+8n1−9n=2.

b)

lim4−n3−12n21+2n3=lim4n3−1−12n1n3+2=−12.

c)

lim3n−4n+12.4n+2n=lim34n−1+14n2+12n=−12.

Bài 2. Tìm số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn có công bội là 23và tính tổng của cấp số nhân lùi vô hạn.

Lời giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là: un=23n.

Suy ra số hạng đầu tiên của dãy là:u1=1

Khi đó tổng cấp số nhân lùi vô hạn là:S=u11−q=11−23=113=3.

Vậy số hạng tổng quát của cấp số nhân lùi vô hạn là:un=23n và tổng của cấp số nhân lùi vô hạn là 3.

Bài 3. Biết dãy số (un) thỏa mãn un−11n3với mọi n. Chứng minh rằng limun = 1.

Lời giải

Đặt vn = un - 1

Chọn số dương bé tùy ý d, tồn tạin0=1d3+1 với mọi n≥n0sao cho:

vn1n31n03=11d3+1311d33=d

Theo định nghĩa ta có: limvn = 0.

Do đó: lim (un – 1) = 0

⇒limun=1.

Bài 4. Tính các giới hạn sau:

a) limn2+n−n2−1;

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1).

Xem thêm: Cách Giải Phương Trình Đẳng Cấp Bậc 2, Bậc 3 Lượng Giác Cực Hay

Lời giải

a)

limn2+n−n2−1=limn2+n−n2−1n2+n+n2−1n2+n+n2−1=limn+1n2+n+n2−1=lim1+1n1+1n+1−1n2=11+1=12.

b) lim(n3 + 2n2 – n + 1) =limn31+2n−1n2+1n3=limn3.lim1+2n−1n2+1n3=∞