Hàm số liên tục là phần lý thuyết quan trọng trong lịch trình toán học của các em học sinh. Vậy định nghĩa. Trong phạm vi bài viết dưới đây, leveehandbook.net để giúp đỡ bạn vấn đáp các vấn đề trên, cùng tìm hiểu nhé.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục trên r khi nào


Lý thuyết HSLT

Hàm số liên tục tại một điểm

Giả sử cho hàm số (y=f(x)) khẳng định trên ((a;b)) và(x_0epsilon (a;b))


Khi đó, hàm số (y=f(x)) thường xuyên tại (x_0)⇔limx→x0f(x)=f(x0)x0⇔limx→x0f(x)=f(x0)

Để xét tính liên tục của hàm số (y=f(x))  tại điểm (x_0)  ta thực hiện công việc như sau:

Bước 1: Tính (f(x_0))Bước 2: Tính (lim_x ightarrow x_0f(x)) (Trong các trường phù hợp ta phải tính (lim_x ightarrow x_0^+f(x), lim_x ightarrow x_0^-f(x))).Bước 3: so sánh (lim_x ightarrow x_0f(x)) cùng với (f(x_0)).Bước 4: Kết luậnHàm số (y=f(x)) không thường xuyên tại (x_0) được call là đứt quãng tại điểm đó.

*

Hàm số liên tiếp trên một khoảng

Hàm số (y=f(x)) liên tục trên một khoảng tầm nếu nó liên tục tại các điểm thuộc khoảng đó.

Đồ thị của HSLT bên trên một khoảng là một “đường liền” trên khoảng đó.

Hàm số thường xuyên trên đoạn

Hàm số (y=f(x)) liên tiếp trên đoạn () giả dụ nó liên tiếp trên khoảng chừng ((a;b)) với

(lim_x ightarrow a^+f(x)=f(a),lim_x ightarrow b^-f(x)=f(b))

Hàm số liên tục trên (mathbbR)Hàm số đa thức liên tiếp trên toàn bộ tập số thực (mathbbR).Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của hai đa thức), hàm con số giác liên tục trên từng khoảng tầm của tập khẳng định của chúng.

Giả sử (y=f(x)) cùng (y=g(x)) là hai HSLT trên điểm (x_0). Khi đó:

Các hàm số (y=f(x)+g(x), y=f(x)-g(x), y=f(x).g(x)) liên tục tại (x_0).Hàm số (y=fracf(x)g(x)) liên tục tại (x_0) giả dụ (g(x_0) eq 0).

Tính chất của hàm số liên tục

Định lý

Hàm số (y=f(x)) thường xuyên trên () và (f(a) eq f(b)Rightarrow forall M) nằm trong lòng (f(a), f(b),exists cepsilon (a;b):f(c)=M)

Hệ quả

Hàm số (y=f(x)) tiếp tục trên () cùng (f(a).f(b)

Hệ trái này hay được vận dụng để minh chứng sự lâu dài nghiệm của phương trình trên một khoảng.

Các dạng toán và cách thức giải 

Dạng 1: HSLT tại một điểm

(f(x)=left{eginmatrix h(x,m) và ( x eq x_0)\ g(x,m) và (x=x_0) endmatrix ight.) trên (x=x_0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính (f(x_0))

Bước 2: Tính (lim_x ightarrow x_0f(x))

Bước 3: so sánh (lim_x ightarrow x_0f(x)) cùng với (f(x_0))

Bước 4: Kết luận

(f(x)=left{eginmatrix h(x,m) và ( xgeq x_0)\ g(x,m) & (x

hoặc: (f(x)=left{eginmatrix h(x,m) & ( x> x_0)\ g(x,m) và (xleq x_0) endmatrix ight) trên (x=x_0)

Phương pháp giải:

Bước 1: Tính (f(x_0))

Bước 2: Tính (lim_x ightarrow x_0^+f(x), lim_x ightarrow x_0^-f(x))

Bước 3: đối chiếu (lim_x ightarrow x_0^+f(x), lim_x ightarrow x_0^-f(x), f(x_0))

Bước 4: Kết luận

Dạng 2: HSLT trên tập khẳng định của nó

(f(x)=left{eginmatrix h(x,m) & ( x eq x_0)\ g(x,m) & (x=x_0) endmatrix ight.)

Phương pháp giải:

Bước 1: tìm tập xác minh của hàm số vẫn cho

Bước 2: lúc (x eq x_0), xác minh tính liên tục của hàm số (f(x)) tại (x eq x_0)

Bước 3: lúc (x= x_0)

Tính (f(x_0))Tính (lim_x ightarrow x_0f(x))So sánh (lim_x ightarrow x_0f(x)) với (f(x_0)) và rút ra kết luận tại điểm (x_0)

Bước 4: kết luận tính tiếp tục trên tập khẳng định của chúng.

(f(x)=left{eginmatrix h(x,m) & ( xgeq x_0)\ g(x,m) & (x

hoặc: (f(x)=left{eginmatrix h(x,m) và ( x> x_0)\ g(x,m) & (xleq x_0) endmatrix ight)

Phương pháp giải

Bước 1: kiếm tìm tập xác minh của hàm số sẽ cho.

Bước 2: khi (x eq x_0), khẳng định tính liên tục của hàm số (f(x)) trên những khoảng.

Bước 3: lúc (x= x_0)

Tính (f(x_0))Tính (lim_x ightarrow x_0^+f(x), lim_x ightarrow x_0^-f(x))So sánh (lim_x ightarrow x_0^+f(x), lim_x ightarrow x_0^-f(x), f(x_0)) cùng rút ra tóm lại tại điểm (x_0)

Bước 4: tóm lại tính liên tiếp trên tập xác định.

Xem thêm: 7 Dạng Vô Định Của Giới Hạn Hàm Số Dạng Vô Định, Giới Hạn Của Hàm Số Dạng Vô Định

Dạng 3: Chứng minh phương trình có nghiệm

Ví dụ : chứng minh phương trình(3x^3+2x-2=0) có nghiệm trong tầm ((0;1))

Hướng dẫn giải:

Xét hàm số (f(x)=3x^3+2x-2) là hàm đa thức liên tiếp trên R, có nghĩa là liên tục trên khoảng chừng ((0;1))Ta có: (f(0).f(1)=(-2).3=-6Suy ra: (cepsilon (0;1)),

phương trình gồm nghiệm (cepsilon (0;1))

Trên đấy là tổng hợp kiến thức và kỹ năng về phần lý thuyết, giải pháp giải cũng giống như một số dạng bài bác tập điển hình. Hy vọng nội dung bài viết đã cung cấp cho chúng ta kiến thức có lợi phục vụ cho quá trình học tập của bạn dạng thân. Nếu như có bất kể câu hỏi như thế nào phát sinh liên quan đến chủ đề hàm số liên tục, mời bạn để lại nhấn xét, leveehandbook.net sẽ cung cấp giải đáp giúp bạn.