Định nghĩa: Giả sử hàm số khẳng định trên khoảng với


Hàm số không tiếp tục tại điểm hotline là cách trở tại .
2. Hàm số liên tiếp trên một khoảng, trên một đoạn
Định nghĩa: Giả sử hàm số

Hàm số gọi là thường xuyên trên đoạn giả dụ nó liên tiếp trên khoảng chừng và

Nhận xét:
a). Giả dụ hai hàm số f cùng g thường xuyên tại điểm thì các hàm số

b). Hàm đa thức cùng hàm số phân thức hữu tỉ thường xuyên trên tập xác minh của chúng.
3. đặc điểm của hàm số liên tục:
Định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)
Giả sử hàm số f tiếp tục trên đoạn .Nếu


Ý nghĩa hình học tập của định lí
Nếu hàm số f liên tục trên đoạn với M là một trong những thực nằm giữa thì mặt đường thẳng

Hệ trái
Nếu hàm số f tiếp tục trên đoạn và thì tồn tại tối thiểu một điểm sao để cho

Ý nghĩa hình học của hệ trái
Nếu hàm số f thường xuyên trên đoạn và thì trang bị thị của hàm số giảm trục hoành tối thiểu tại một điểm bao gồm hoành độ .
B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM
PHƯƠNG PHÁP 1:
Bước 1: Tính

Bước 2: Tính


PHƯƠNG PHÁP 2:
Bước 1: search

Bước 2: tìm

Nếu

Bạn đang xem: Hàm số liên tục trên khoảng
Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của các hàm số sau tại điểm
a)


LỜI GIẢI
a). Bởi vì

b) Ta có:

Do đó hàm số liên tiếp tại
Ví dụ 2. mang đến hàm số:

a). Tính

b). Xét tính thường xuyên của hàm số tại

LỜI GIẢI
a).Ta bao gồm

b). Trường đoản cú câu a) suy ra

hàm số đã mang đến không xác định tại , vì vậy hàm số không liên tục tại .
Ví dụ 3: Xét tính liên tiếp tại cực hiếm của các hàm số sau:
1).

2).

3)


4).

5). trên , tại và tại
6).

7).

LỜI GIẢI
1).
Xét tính liên tiếp tại :
Có

Có

Ta bao gồm hàm số liên tục tại
Xét tính liên tục tại :
Có

2). Bao gồm

Có



Từ (1) cùng (2) suy ra

3).
Xét tính tiếp tục tại
Có

Có


Vì

Xét tính tiếp tục tại
Có

4). Xét tính liên tiếp tại
Ta tất cả

Ta bao gồm

Vì hàm số liên tiếp tại .
Xét tính liên tục tại
Ta gồm

5). tại , trên với tại
Xét tính liên tiếp tại
Áp dụng nếu


Có


Có

Vì


Xét tính tiếp tục tại

Có

Xét tính tiếp tục tại

Có

6). Tất cả



Có

Có

Vì


7). Ta gồm

Có

Có

Vì


Ví dụ 4. mang lại hàm số

Với cực hiếm nào của a thì hàm số sẽ cho liên tiếp tại điểm ?
LỜI GIẢI
Ta bao gồm

Hàm liên tục tại khi còn chỉ khi

Vậy hàm số sẽ cho thường xuyên tại lúc

Ví dụ 5: mang lại hàm số

LỜI GIẢI
Ta tất cả :



Hàm số liên tục tại

Ví dụ 6: cho các hàm số dưới đây . Có thể định nghĩa

a)


c)


LỜI GIẢI
a). Ta có

Hàm số liên tục tại khi còn chỉ khi

Vậy nếu bổ sung cập nhật

b). Ta gồm

Hàm số liên tục tại khi còn chỉ khi
Vậy nếu bổ sung cập nhật

c). Ta gồm

hàm số không có giới hạn trên , vì thế hàm không thể thường xuyên tại .
d). Ta gồm

Hàm số liên tục tại khi và chỉ còn khi
Vậy nếu bổ sung

DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬP HỢP
Ví dụ 1: chứng tỏ các hàm số sau tiếp tục trên R.
a). b).
c). d).
LỜI GIẢI
a). . TXĐ:
ta có

b) . TXĐ:
ta có


c) . Tập xác định của f(x) là
Nếu




Bây tiếng ta xét tính tiếp tục của f(x) tại
Ta có:

Ta có:

Vì

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) liên tục trên R.
d) . Tập xác minh của f(x) là
Với số đông , ta tất cả

Với đều , ta tất cả

Ta xét tính liên tiếp của f(x) tại
Ta có:

Ta có:

Và bao gồm

Vì

Từ (1) (2) với (3) suy ra f(x) tiếp tục trên R.
Ví dụ 2: mang đến hàm số

Xác định a, b nhằm hàm số liên tiếp trên R.
LỜI GIẢI
Ta bao gồm tập xác định của hàm số f(x) là .
Ta có: hàm số liên tục trên khoảng chừng

Do đó hàm số liên tiếp trên R khi còn chỉ khi hàm số tiếp tục tại những điểm cùng .
tại :
Ta có



Do kia hàm liên tiếp tại khi còn chỉ khi

trên
Ta bao gồm


Do đó hàm số thường xuyên tại khi và chỉ còn khi

Từ



Vậy với

Ví dụ 3: Xét xem những hàm số sau có thường xuyên với không? ví như không? Chỉ ra những điểm loại gián đoạn.
a) b)
c)


LỜI GIẢI
a). Hàm số liên tục với vị là hàm nhiều thức.
b). Hàm số thường xuyên với


c). Hàm số

-Với

-Với


-Hàm số cách biệt tại bởi nó không khẳng định tại .
d). Với

Tại


Do đó hàm số thường xuyên tại

Vậy hàm số liên tục với

Ví dụ 4: đến hàm số

LỜI GIẢI
Vì





Với mọi






Tại



Kết luận hàm số f(x) liên tục trên cùng trên .
DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM
PHƯƠNG PHÁP:
Bước 1: biến đổi phương trình về dạng .
Bước 2: Tìm nhị số a với b sao để cho .
Bước 3: chứng tỏ hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn .
Từ kia suy ra phương trình có tối thiểu một nghiệm nằm trong

Chú ý:
Nếu

Nếu hàm số f(x) liên tiếp trên



Nếu hàm số f(x) tiếp tục trên



Ví dụ 1: chứng tỏ rằng phương trình

LỜI GIẢI
Hàm số

Ta tất cả


Do đó theo đặc điểm hàm số liên tục, phương trình đã đến có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng
Ví dụ 2: Chứng minh phương trình


LỜI GIẢI
Đặt



Vì


Mà hai khoảng chừng , ko giao nhau. Từ kia suy ra phương trình đã đến có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng chừng

Ví dụ 3: chứng minh phương trình

LỜI GIẢI
Đặt

Ta có



Vì


Vì


Vì


Vì


Vì


Do những khoảng





Mà phương trình bậc 5 có không thật 5 nghiệm suy ra phương trình sẽ cho bao gồm đúng 5 nghiệm.
Ví dụ 4. chứng minh rằng nếu như

LỜI GIẢI
Đặt



Đặt


Ta sẽ chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm .
Cách 1: Ta tất cả

-Nếu



-Nếu



Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm
Cách 2:
Ta có

-Nếu



-Nếu


Khi đó, trường đoản cú


Mà hai giá trị nào trong bọn chúng trái dấu thì theo tính chất hàm liên tục ta những suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm
Ví dụ 5: mang đến hàm số


LỜI GIẢI
Ta bao gồm




Mà




Do đó ta gồm



Kết luận với thì phương trình

Ví dụ 6: chứng tỏ rằng phương trình


LỜI GIẢI
Đặt

Ta bao gồm




Từ (1) với (2)



Kết luận phương trình luôn luôn có ít nhất một nghiệm âm với đa số giá trị thông số m.
BÀI TẬP TỔNG HỢP
Câu 1: đến hàm số

Với quý giá nào của a, b thì hàm số tiếp tục trên R?
LỜI GIẢI
Hàm số sẽ cho liên tiếp tại đều x không giống 2 với khác 6. Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại với

+ tại

Hàm số liên tục tại khi còn chỉ khi

+ trên

Hàm số liên tiếp tại


Do đó hàm số đang cho liên tục trên R khi và chỉ khi

Xem thêm: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Cực Hay, Xét Tính Chẵn
Câu 2: search a, b, c để hàm số sau thường xuyên trên R:

LỜI GIẢI
Hàm số vẫn cho tiếp tục trên những khoảng

