Định nghĩa: Giả sử hàm số khẳng định trên khoảng với

*
Hàm số call là tiếp tục tại điểm nếu:
*

Hàm số không tiếp tục tại điểm hotline là cách trở tại .

2. Hàm số liên tiếp trên một khoảng, trên một đoạn

Định nghĩa: Giả sử hàm số

*
khẳng định trên khoảng chừng .Ta nói rằng hàm số liên tục trên khoảng chừng ví như nó thường xuyên tại hồ hết điểm của khoảng tầm đó.

Hàm số gọi là thường xuyên trên đoạn giả dụ nó liên tiếp trên khoảng chừng và

*

Nhận xét:

a). Giả dụ hai hàm số f cùng g thường xuyên tại điểm thì các hàm số

*
(c là một trong những hằng số) đều thường xuyên tại điểm .

b). Hàm đa thức cùng hàm số phân thức hữu tỉ thường xuyên trên tập xác minh của chúng.

3. đặc điểm của hàm số liên tục:

Định lí 2 (định lí về giá trị trung gian của hàm số liên tục)

Giả sử hàm số f tiếp tục trên đoạn .Nếu

*
thì với từng số thực M nằm trong lòng , tồn tại ít nhất một điểm sao để cho
*

Ý nghĩa hình học tập của định lí

Nếu hàm số f liên tục trên đoạn với M là một trong những thực nằm giữa thì mặt đường thẳng

*
giảm đồ thị của hàm số tại tối thiểu một điểm bao gồm hoành độ .

Hệ trái

Nếu hàm số f tiếp tục trên đoạn và thì tồn tại tối thiểu một điểm sao để cho

*

Ý nghĩa hình học của hệ trái

Nếu hàm số f thường xuyên trên đoạn và thì trang bị thị của hàm số giảm trục hoành tối thiểu tại một điểm bao gồm hoành độ .

B. CÁC DẠNG TOÁN VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

DẠNG 1: XÉT TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ TẠI MỘT ĐIỂM

PHƯƠNG PHÁP 1:

Bước 1: Tính

*
.

Bước 2: Tính

*
. Trường hợp
*
thì hàm số f(x) thường xuyên tại .

PHƯƠNG PHÁP 2:

Bước 1: search

*

Bước 2: tìm

*
.

Nếu

*
thì hàm số f(x) thường xuyên tại .




Bạn đang xem: Hàm số liên tục trên khoảng

Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của các hàm số sau tại điểm

a)

*
b)
*


LỜI GIẢI

a). Bởi vì

*
ko xác định, suy ra hàm số không thường xuyên tại

b) Ta có:

*

Do đó hàm số liên tiếp tại


Ví dụ 2. mang đến hàm số:

*

a). Tính

*

b). Xét tính thường xuyên của hàm số tại

*


LỜI GIẢI

a).Ta bao gồm

*

b). Trường đoản cú câu a) suy ra

*
Vậy hàm số đang cho tiếp tục tại

hàm số đã mang đến không xác định tại , vì vậy hàm số không liên tục tại .


Ví dụ 3: Xét tính liên tiếp tại cực hiếm của các hàm số sau:

1).

*
trên và tại

2).

*
tại

3)

*
tại cùng tại
*

4).

*
trên với tại

5). trên , tại và tại

6).

*
tại

7).

*
trên


LỜI GIẢI

1).

Xét tính liên tiếp tại :

Có

*

Có

*

Ta bao gồm hàm số liên tục tại

Xét tính liên tục tại :

Có

*
hàm số f(x) tiếp tục tại .

2). Bao gồm

*
(1)

Có

*
*
*
(2)

Từ (1) cùng (2) suy ra

*
. Vậy hàm số tiếp tục tại .

3).

Xét tính tiếp tục tại

Có

*

Có

*

*

Vì

*
hàm số tiếp tục tại

Xét tính tiếp tục tại

Có

*
suy ra hàm số f(x) liên tiếp tại .

4). Xét tính liên tiếp tại

Ta tất cả

*

Ta bao gồm

*

Vì hàm số liên tiếp tại .

Xét tính liên tục tại

Ta gồm

*
hàm số f(x) liên tiếp tại .

5). tại , trên với tại

Xét tính liên tiếp tại

Áp dụng nếu

*
hàm số tiếp tục tại
*

Có

*

*

Có

*

Vì

*
hàm số liên tiếp tại
*

Xét tính tiếp tục tại

*

Có

*
. Vậy hàm số f(x) liên tiếp tại .

Xét tính tiếp tục tại

*

Có

*
hàm số f(x) thường xuyên tại .

6). Tất cả

*

*
*

Có

*

Có

*

Vì

*
hàm số liên tiếp tại
*

7). Ta gồm

*

Có

*

Có

*
.

Vì

*
hàm số không liên tục tại
*


Ví dụ 4. mang lại hàm số

*

Với cực hiếm nào của a thì hàm số sẽ cho liên tiếp tại điểm ?


LỜI GIẢI

Ta bao gồm

*

Hàm liên tục tại khi còn chỉ khi

*

Vậy hàm số sẽ cho thường xuyên tại lúc

*


Ví dụ 5: mang lại hàm số

*
. Xác định a nhằm hàm số f(x) tiếp tục tại .


LỜI GIẢI

Ta tất cả :

*

*

*
.

Hàm số liên tục tại

*
.


Ví dụ 6: cho các hàm số dưới đây . Có thể định nghĩa

*
để hàm số trở thành liên tiếp tại được không?

a)

*
với b)
*
với

c)

*
cùng với d)
*
với


LỜI GIẢI

a). Ta có

*

Hàm số liên tục tại khi còn chỉ khi

*
.

Vậy nếu bổ sung cập nhật

*
thì hàm số trở thành thường xuyên tại

b). Ta gồm

*

Hàm số liên tục tại khi còn chỉ khi

Vậy nếu bổ sung cập nhật

*
thì hàm số trở nên tiếp tục tại

c). Ta gồm

*

hàm số không có giới hạn trên , vì thế hàm không thể thường xuyên tại .

d). Ta gồm

*

Hàm số liên tục tại khi và chỉ còn khi

Vậy nếu bổ sung

*
thì hàm số trở nên thường xuyên tại

DẠNG 2: HÀM SỐ LIÊN TỤC TRÊN MỘT TẬP HỢP


Ví dụ 1: chứng tỏ các hàm số sau tiếp tục trên R.

a). b).

c). d).


LỜI GIẢI

a). . TXĐ:

ta có

*
. Suy ra hàm số liên tiếp trên R.

b) . TXĐ:

ta có

*

*
. Suy ra hàm số liên tiếp trên R.

c) . Tập xác định của f(x) là

Nếu

*
thì
*
là hàm số phân thức hữu tỉ, nên liên tục trên các khoảng
*
và
*
(1).

Bây tiếng ta xét tính tiếp tục của f(x) tại

Ta có:

*

Ta có:

*

Vì

*
Hàm số liên tiếp tại (2).

Từ (1) và (2) suy ra hàm số f(x) liên tục trên R.

d) . Tập xác minh của f(x) là

Với số đông , ta tất cả

*
. Suy ra hàm số f(x) liên tục trên khoảng tầm (1).

Với đều , ta tất cả

*
. Suy ra hàm số f(x) liên tiếp trên khoảng tầm (2).

Ta xét tính liên tiếp của f(x) tại

Ta có:

*

Ta có:

*

Và bao gồm

*

Vì

*
Hàm số tiếp tục tại 1 (3)

Từ (1) (2) với (3) suy ra f(x) tiếp tục trên R.


Ví dụ 2: mang đến hàm số

*

Xác định a, b nhằm hàm số liên tiếp trên R.


LỜI GIẢI

Ta bao gồm tập xác định của hàm số f(x) là .

Ta có: hàm số liên tục trên khoảng chừng

*
(vì là hàm nhiều thức).

Do đó hàm số liên tiếp trên R khi còn chỉ khi hàm số tiếp tục tại những điểm cùng .

tại :

Ta có

*
và
*
với
*

Do kia hàm liên tiếp tại khi còn chỉ khi

*

trên

Ta bao gồm

*
và
*

Do đó hàm số thường xuyên tại khi và chỉ còn khi

*

Từ

*
và
*
suy ra hàm số liên tục trên R khi và chỉ khi:
*

Vậy với

*
thì hàm số thường xuyên trên R.


Ví dụ 3: Xét xem những hàm số sau có thường xuyên với không? ví như không? Chỉ ra những điểm loại gián đoạn.

a) b)

c)

*
d)
*


LỜI GIẢI

a). Hàm số liên tục với vị là hàm nhiều thức.

b). Hàm số thường xuyên với

*
, ngăn cách tại các điểm
*
vị không xác minh tại cùng

c). Hàm số

*

-Với

*
là hàm phân thức hữu tỉ đề nghị liên tục.

-Với

*
. Vì thế hàm số tiếp tục tại
*

-Hàm số cách biệt tại bởi nó không khẳng định tại .

d). Với

*
là phân thức hữu tỉ buộc phải liên tục.

Tại

*

*

Do đó hàm số thường xuyên tại

*

Vậy hàm số liên tục với

*


Ví dụ 4: đến hàm số

*
. Tìm những khoảng, nửa khoảng mà trên kia hàm số f(x) liên tục.


LỜI GIẢI

Vì

*
với tất cả
*
cần hàm số
*
xác định trên khoảng . Ta tất cả
*
thì
*
buộc phải hàm số f(x) liên tục trên khoảng .

Với mọi

*
thì
*
, cho nên vì vậy hàm số
*
khẳng định trên nửa khoảng .
*
ta tất cả
*
*
nên hàm số f(x) liên tiếp trên nửa khoảng tầm .

Tại

*
, ta tất cả
*
. Và
*
phải hàm số f(x) không liên tục tại .

Kết luận hàm số f(x) liên tục trên cùng trên .

DẠNG 3: CHỨNG MINH PHƯƠNG TRÌNH CÓ NGHIỆM

PHƯƠNG PHÁP:

Bước 1: biến đổi phương trình về dạng .

Bước 2: Tìm nhị số a với b sao để cho .

Bước 3: chứng tỏ hàm số f(x) thường xuyên trên đoạn .

Từ kia suy ra phương trình có tối thiểu một nghiệm nằm trong

*
.

Chú ý:

Nếu

*
thì phương trình có tối thiểu một nghiệm trực thuộc

Nếu hàm số f(x) liên tiếp trên

*
và bao gồm
*
thì phương trình có tối thiểu một nghiệm ở trong
*
.

Nếu hàm số f(x) tiếp tục trên

*
và tất cả
*
thì phương trình có tối thiểu một nghiệm thuộc
*
.


Ví dụ 1: chứng tỏ rằng phương trình

*
bao gồm nghiệm trong vòng


LỜI GIẢI

Hàm số

*
liên tục trên R.

Ta tất cả

*
bắt buộc
*

Do đó theo đặc điểm hàm số liên tục, phương trình đã đến có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng


Ví dụ 2: Chứng minh phương trình

*
có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng chừng
*
.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì f
*
thường xuyên trên R.

*

Vì

*
bắt buộc phương trình tất cả nghiệm thuộc khoảng chừng

*
suy ra phương trình bao gồm nghiệm thuộc khoảng .

Mà hai khoảng chừng , ko giao nhau. Từ kia suy ra phương trình đã đến có ít nhất 2 nghiệm thuộc khoảng chừng

*


Ví dụ 3: chứng minh phương trình

*
gồm đúng năm nghiệm.


LỜI GIẢI

Đặt

*
thì liên tiếp trên R

Ta có

*

*

*

Vì

*
bắt buộc phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng chừng
*

Vì

*
đề nghị phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng
*

Vì

*
phải phương trình gồm nghiệm thuộc khoảng chừng
*

Vì

*
nên phương trình có nghiệm thuộc khoảng tầm
*

Vì

*
phải phương trình có nghiệm thuộc khoảng chừng
*

Do những khoảng

*
*
*
*
*
ko giao nhau buộc phải phương trình có ít nhất 5 nghiệm thuộc các khoảng trên.

Mà phương trình bậc 5 có không thật 5 nghiệm suy ra phương trình sẽ cho bao gồm đúng 5 nghiệm.


Ví dụ 4. chứng minh rằng nếu như

*
thì phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng


LỜI GIẢI

Đặt

*
, bởi vì
*
đề xuất phương trình đã mang lại trở thành:

*
với

Đặt

*
thì
*
tiếp tục trên R.

Ta sẽ chứng minh phương trình luôn luôn có nghiệm .

Cách 1: Ta tất cả

*

-Nếu

*
thì
*
cho nên phương trình có nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
cho nên vì vậy phương trình bao gồm nghiệm
*
vì thế phương trình gồm nghiệm

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm

Cách 2:

Ta có

*

-Nếu

*
từ mang thiết suy ra
*
vì vậy phương trình có nghiệm
*

-Nếu

*
thì
*
cần thiết đồng thời bằng 0 (vì phương trình bậc hai không tồn tại quá hai nghiệm).

Khi đó, trường đoản cú

*
suy ra trong tía số
*
phải tất cả hai quý giá trái dấu nhau ( Ví trường hợp cả bố giá trị đó cùng âm hoặc thuộc dương thì tổng của chúng không thể bằng 0).

Mà hai giá trị nào trong bọn chúng trái dấu thì theo tính chất hàm liên tục ta những suy ra phương trình có ít nhất một nghiệm

*

Vậy phương trình có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng tầm


Ví dụ 5: mang đến hàm số

*
(với m là tham số). Chứng minh rằng cùng với thì phương trình gồm đúng bố nghiệm rành mạch
*
cùng thỏa điều kiện .


LỜI GIẢI

Ta bao gồm

*
,
*
lúc thì
*
với
*
.

Mà

*
làm sao để cho
*
.

*
làm sao cho
*
.

Do đó ta gồm

*
. Vị hàm số f(x) xác minh và liên tiếp trên R nên thường xuyên trên các đoạn
*
bắt buộc phương trình có ít nhất ba nghiệm thứu tự thuộc các khoảng
*
. Bởi vì f(x) là hàm bậc tía nên nhiều nhất chỉ có bố nghiệm.

Kết luận với thì phương trình

*
bao gồm đúng cha nghiệm rõ ràng thỏa .


Ví dụ 6: chứng tỏ rằng phương trình

*
với
*
luôn có tối thiểu một nghiệm âm với tất cả giá trị của tham số m.


LỜI GIẢI

Đặt

*
.

Ta bao gồm

*
,
*
. Từ bỏ đó tất cả
*
(1). Vị hàm số xác định và thường xuyên trên R yêu cầu hàm số liên tục trên đoạn
*
(2).

Từ (1) với (2)

*
có tối thiểu một nghiệm ở trong
*
,
*
.

Kết luận phương trình luôn luôn có ít nhất một nghiệm âm với đa số giá trị thông số m.

BÀI TẬP TỔNG HỢP


Câu 1: đến hàm số

*

Với quý giá nào của a, b thì hàm số tiếp tục trên R?


LỜI GIẢI

Hàm số sẽ cho liên tiếp tại đều x không giống 2 với khác 6. Hàm số đã cho liên tục trên R khi và chỉ khi hàm số liên tục tại với

*

+ tại

*

Hàm số liên tục tại khi còn chỉ khi

*

+ trên

*

Hàm số liên tiếp tại

*
khi còn chỉ khi
*

Do đó hàm số đang cho liên tục trên R khi và chỉ khi

*




Xem thêm: Xét Tính Chẵn Lẻ Của Hàm Số Lượng Giác Cực Hay, Xét Tính Chẵn

Câu 2: search a, b, c để hàm số sau thường xuyên trên R:

*


LỜI GIẢI

Hàm số vẫn cho tiếp tục trên những khoảng

*
vì thế hàm số liên tục trên R khi và chỉ còn khi hàm số thường xuyên tại các điểm
*