Trong bài học kinh nghiệm trước các em đã biết về giới hạn của hàm số, thay nào là giới hạn hữu hạn, số lượng giới hạn một mặt và giới hạn ở vô cực. Tiếp theo họ sẽ khám phá về hàm số liên tiếp trong nội dung bài học này.

Bạn đang xem: Hàm số liên tục tại 1 điểm


Bài viết bên dưới đây sẽ giúp đỡ ta biết cách xét tính thường xuyên của hàm số, áp dụng giải những dạng bài tập về hàm số tiếp tục như: Xét tính thường xuyên của hàm số tại 1 điểm (x=0), bên trên một đoạn hay 1 khoảng, tìm những điểm cách trở của hàm số, hay chứng tỏ phương trình f(x)=0 có nghiệm.

I. Lý thuyết về hàm số tiếp tục (tóm tắt)

1. Hàm số liên tiếp tại 1 điểm

- Định nghĩa: Cho hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng tầm (a;b) và x0 ∈ (a;b). Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là thường xuyên tại x0 nếu:

 

*

- Hàm số f(x0) không liên tục tại điểm x0 thì x0 được hotline là điểm cách biệt của hàm số f(x).

2. Hàm số thường xuyên trên một khoảng

- Định nghĩa: Hàm số y = f(x) được call là liên tục trên một khoảng tầm nếu nó thường xuyên tại đông đảo điểm của khoảng chừng đó.

- Hàm số y = f(x) được hotline là thường xuyên trên đoan ví như nó liên tiếp trên khoảng chừng (a;b) và:

 

*

3. Một số trong những định lý cơ bản về hàm số liên tục

Định lý 1:

a) Hàm số nhiều thức tiếp tục trên cục bộ tập số thực R.

b) Hàm số phân thức hữu tỉ (thương của 2 đa thức) và những hàm số lượng giác liên tiếp trên từng khoảng của tập khẳng định của chúng.

Định lý 2:

- giả sử f(x) và g(x) là hai hàm số tiếp tục tại điểm x0. Khi đó:

a) các hàm số f(x) + g(x); f(x) - g(x) và f(x).g(x) liên tiếp tại x0.

b) hàm số 

*
 liên tục trên x0 trường hợp g(x0) ≠ 0.

• Định lý 3:

- trường hợp hàm số y = f(x) tiếp tục trên đoạn cùng f(a)f(b) II. Những dạng bài bác tập về hàm số liên tục

° Dạng 1: Xét tính tiếp tục của hàm số tại điểm x0.

* Phương pháp:

- cách 1: Tính f(x0)

- bước 2: Tính  hoặc

- bước 3: So sánh:  hoặc  với 

*
 rồi rút ra kết luận

- Nếu 

*
 hoặc 
*
 thì kết luận hàm số liên tục tại 

- Nếu  không tồn tại hoặc  thì tóm lại hàm số không liên tục tại x0.

- cách 4: Kết luận.

* lấy ví dụ như 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11): Dùng định nghĩa xét tính liên tục của hàm số f(x)=x3 + 2x - 1 trên x0=3.

° giải mã ví dụ 1 (Bài 1 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: f(x) = x3 + 2x - 1

⇒ f(3) = 33 + 2.3 - 1 = 32

*
 
*

*

⇒ f(x) liên tiếp tại x0 = 3.

* Ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11): a) Xét tính thường xuyên của hàm số y = g(x) tại x0 = 2, biết:

 

*

b) vào biểu thức g(x) sống trên, buộc phải thay số 5 vày số nào đó để hàm số liên tiếp tại x0 = 2.

° giải mã ví dụ 2 (Bài 2 trang 140 SGK Đại số 11):

- Ta có: g(2) = 5.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ g(x) không liên tục tại x0 = 2.

b) Để g(x) liên tục tại x0 = 2 thì:

 

*

- Vậy chỉ việc thay 5 bằng 12 thì hàm số thường xuyên tại x0 = 2.

* lấy ví dụ như 3: Xét tính tiếp tục của hàm số sau trên điểm x = 1.

 

*

° giải thuật ví dụ 3:

- Ta có: f(1) = 1

 

*
 
*
 

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) không thường xuyên (gián đoạn) trên điểm x = 1.

* ví dụ 4: Xét tính tiếp tục của hàm số sau trên điểm x = 0.

 

*

° lời giải ví dụ 4:

- Ta có: f(0) = 02 - 2.0 + 2 = 2.

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Vậy hàm số f(x) tiếp tục tại điểm x = 0.

° Dạng 2: Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng, một đoạn.

* Phương pháp:

- Áp dụng định lý 1, định lý 2 để xét tính liên tục của hàm số bên trên từng khoảng khẳng định của nó.

- ví như hàm số xác định bởi 2 hoặc 3 công thức, ta hay xét tính thường xuyên tại các điểm quan trọng của hàm số đó.

* ví dụ như 1: Cho hàm số 

*

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Hàm số f(x) tiếp tục tại điểm x = 2.

Xem thêm: Viết Phương Trình Tiếp Tuyến Đi Qua 1 Điểm Mà Tiếp Tuyến Đi Qua

- Kết luận: Hàm số f(x) liên tục trên khoảng tầm (-7;+∞).

* lấy ví dụ như 2: Tìm a, b nhằm hàm số sau liên tục: 

*

 

*

⇒ Để hàm số thường xuyên tại điểm x = 3 thì:

 

*
 
*
 (*)

• Khi x = 5 thì f(5) = 5a + b

 

*

 

*

⇒ Để hàm số thường xuyên tại điểm x = 5 thì:

*
 
*
 (**)

Từ (*) cùng (**) ta có: 

*

- Vậy khi a = 1 cùng b = -2 thì hàm số f(x) thường xuyên trên R, khi đó:

 

*

- Hàm số g(x) liên tục trên các khoảng: 

*

° Dạng 3: Tìm điểm cách biệt của hàm số f(x)

* Phương pháp: x0 là điểm cách trở của hàm số f(x) nếu tại điểm x0 hàm số ko liên tục. Thông thường x0 vừa lòng một trong các trường phù hợp sau: