Ta đã biết rằng khái niệm đạo hàm riêng biệt cho chúng ta biết được tốc độ biến hóa của hàm số khi

cho 1 trong số biến số biến hóa giá trị. Bây gờ, họ sẽ phân tích sự chuyển đổi của hàm số 2

biến z=f(x;y) khi cho cả hai vươn lên là số nỗ lực đổi.




Bạn đang xem: Hàm số khả vi là gì

*
3 trang
*
ngochoa2017
*
*
1570
*
0Download
Bạn sẽ xem tài liệu "Hàm số khả vi và vi phân toàn phần", để tải tài liệu nơi bắt đầu về máy bạn click vào nút DOWNLOAD làm việc trên


Xem thêm: Tư Cách Là Gì - Từ Điển Tiếng Việt Tư Cách

1. ðịnh nghĩa 1:Hàm số f(x;y) ñược hotline là khả vi trên ñiểm giả dụ số gia toàn phần có thể biểu diễn ñược bên dưới dạng: (1)trong ñó A, B là phần lớn số không dựa vào ∆x, ∆y; còn α, β → 0 khi ∆x, ∆y → 0Khi ñó, ñại lượng A.∆x +B.∆y ñược gọi là vi phân toàn phần của hàm số f(x;y) trên ứng với các số gia ∆x, ∆y cùng ñược ký kết hiệu Ví dụ:Xét hàm số . Ta có:Hay:Do ñó:Cho đề nghị hàm số khả vi tại và Nhận xét:1. Xét , đến thì . Khi ñó, vận dụng bất ñẳng thức B.C.S và số lượng giới hạn kẹp ta có:Do ñó, ε là ngân hàng ngoại thương vcb khi ρ → 0.Vì vậy, biểu thức (1) có thể viết dưới dạng: , 0(ρ) là vô cùng bé bậc cao hơn nữa ρ.Hàm số khả vi cùng vi phân toàn phầnTa ñã biết rằng khái niệm ñạo hàm riêng rẽ cho bọn họ biết ñược tốc ñộ cầm cố ñổi của hàm số khi cho 1 trong các biến số núm ñổi giá bán trị. Bây gờ, bọn họ sẽ nghiên cứu sự cố kỉnh ñổi của hàm số 2 trở thành khi cho cả hai biến đổi số cố gắng ñổi.Xét hàm số và là ñiểm nằm trong miền xác ñịnh D. Ta đến x, y thế ñổi 1 lượng tương ứng làm sao cho . Khi ñó, quý hiếm của hàm số sẽ cố ñổi một lượng:Chứng minh:Vì hàm số khả vi, nên từ cách làm (1) ta có:Vậy: vì chưng ñó, hàm số liên tiếp tại .♦Nhận xét:1. Trường hợp hàm số f(x;y) không tiếp tục tại thì sẽ không còn khả vi trên ñiểm ñó.2. Hàm số khả vi trên miền D thì liên tiếp trong miền ñó.3. ðịnh lý 2:Nếu f(x;y) khả vi tại thì nó có những ñạo hàm riêng rẽ tại và chúng tương ứng bằng A cùng B trong biểu thức 1 của ñịnh nghĩa hàm số khả vi.Chứng minh:Thật vậy, từ phương pháp (1) ta mang đến , ta ñược:trong ñó α →0 lúc ∆x → 0.Do ñó:Vậy hoàn toàn tương từ ta có: nhấn xét:1. Như vậy, ví như hàm số f(x,y) khả vi trên thì vi phân toàn phần của hàm số tại ñược xác ñịnh bởi:2. Không giống với hàm hàng đầu biến (nếu hàm số tất cả ñạo hàm thì sẽ khả vi), nếu hàm số hai phát triển thành số f(x,y) có các ñạo hàm riêng tại $latex(x_0;y_0) thì chưa chắc nó ñã khả vi tại ñiểm ñó. Ta xét hàm số sau:3. Hàm số ñược điện thoại tư vấn là khả vi bên trên miền D giả dụ nó khả vi tại rất nhiều ñiểm ở trong D.2. ðịnh lý 1: (ðiều kiện cần ñể hàm số khả vi)Nếu hàm số khả vi trên thì nó tiếp tục tại ñiểm ñó.2. Ta ko thể sử dụng ñịnh nghĩa ñể xét sự khả vi của hàm số như sinh hoạt ví dụ 1 ñược. Tổng quát, chỉ rất có thể áp dụng ñịnh nghĩa ñể xét sự khả vi cho hồ hết hàm số dạng ña thức, còn các hàm số không giống thì không thể sử dụng ñịnh nghĩa ñể khảo sát điều tra sự khả vi ở một ñiểm. Do vậy, ta cần được tìm một cách thức khác ñể giải quyết vấn ñề này.Tương từ ta có: nhưng mà hàm số G(x;y) không liên tiếp tại (0; 0) (xem phần số lượng giới hạn hàm những biến) yêu cầu không khả vi tại (0;0)4. ðịnh lý 3 (ðiều khiếu nại ñủ ñể hàm số khả vi)Cho hàm số f(x;y) có các ñạo hàm riêng rẽ trong một miền D chứa ñiểm . Nếu các ñạo hàm riêng rẽ ấy liên tiếp tại M thì hàm số khả vi trên ñiểm ñó.5. Các ví dụ:1. Mang lại hàm: Tính với . Hàm có khả vi tại (0;0) tốt không?Giảiðể tính các ñạo hàm riêng rẽ tại (0;0) ta cần dùng ñịnh nghĩa mà không thể nắm giá trị (0;0) vào biểu thức ñạo hàmTa có:tương tự: = = mặc dù, hàm số tất cả 2 ñạo hàm riêng biệt tại (0;0) nhưng lại không khả vi trên ñiểm ñó bởi vì hàm số ñã đến không tiếp tục tại (0;0). Thật vậy: xét ñiểm (x;y) tiến về ñiểm (0;0) theo ñường thẳng y = kx ta có.Vậy giá trị giới hạn nhờ vào vào thông số k nện giới hạn không tồn tại.Do ñó: bắt buộc hàm số không thường xuyên tại (0;0) và do ñó nó không khả vi trên (0;0)2. Tìm vi phân của hàm số: Hàm số luôn xác ñịnh và liên tiếp với mọi đề nghị khả vi tại hồ hết ñiểm . Lúc ñó ta có:Theo ñịnh nghĩa ñạo hàm riêng, ta có: