Cách tính góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng lớp 11

Bài toán khẳng định góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng là 1 trong những dạng toán đặc biệt của chương trình HHKG lớp 11. Bài toán này cùng với những bài toán tính góc thân 2 mặt phẳng, khoảng cách từ điểm tới khía cạnh phẳng phần đông sử dụng kỹ năng và kiến thức về mặt đường thẳng vuông góc với mặt phẳng.

Bạn đang xem: Góc tạo bởi đường thẳng và mặt phẳng

1. Triết lý góc giữa đường thẳng và mặt phẳng

Định nghĩa góc giữa mặt đường thẳng với mặt phẳng trong ko gian

Nếu con đường thẳng vuông góc với mặt phẳng thì ta góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng bởi 90°.Nếu đường thẳng không vuông góc với mặt phẳng thì góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng bằng góc giữa đường thẳng đó với hình chiếu của nó lên khía cạnh phẳng .

Kí hiệu góc giữa con đường thẳng $d$ với mặt phẳng $(P)$ là ( left(d,(P) ight) ).

*

Nhận xét.

Góc giữa đường thẳng với mặt phẳng có số đo từ từ ( 0^circ ) cho ( 90^circ )Đường thẳng song song hoặc nằm trong mặt phẳng thì góc thân chúng bằng ( 0^circ )

2. Cách xác minh góc giữa đường thẳng với mặt phẳng

Bài toán. Xác định góc giữa đường thẳng $d$ cùng mặt phẳng $(P)$

Trong thực tế, họ ít khi gặp tình huống đường thẳng $d$ tuy nhiên song với khía cạnh phẳng $(P)$ hoặc phía bên trong mặt phẳng $(P)$, vì lúc đó góc giữa chúng bằng $0^circ$. Còn nếu mặt đường thẳng $d$ vuông góc với khía cạnh phẳng $(P)$ thì góc thân chúng bởi $90^circ$. Trường phù hợp còn lại, mặt đường thẳng $d$ sẽ giảm và ko vuông góc cùng với $(P)$. Lúc đó, họ thực hiện tại 3 bước:

Tìm giao điểm của mặt đường thẳng $d$ với mặt phẳng $ (P)$, trả sử là điểm $ O $;Lấy một điểm $ A$ bất kì thuộc mặt đường thẳng $ d$ và tìm hình chiếu vuông góc $ H$ của $ A$ lên $left( P ight)$;Tính góc $ widehatAOH$, đây chính là góc yêu cầu tìm.

*

Chú ý. Đối cùng với hình chóp, góc giữa kề bên và dưới mặt đáy là góc tạo vì chưng 3 điểm: đỉnh — điểm phổ biến — chân mặt đường cao hình chóp.

Ví dụ,

*

Ví dụ, hình chóp $S.ABC$ có cạnh bên ( SA ) vuông góc với đáy. Hãy xác minh góc giữa ( SC) và mặt phẳng ( (ABC) ).

đỉnh chính là vấn đề $S$điểm tầm thường của cạnh $SC$ và mặt dưới $(ABC)$ chính là điểm $C$chân mặt đường cao hình chóp là điểm $A$

Suy ra, góc thân ( SC) với mặt phẳng ( (ABC) ) là góc ( widehatSCA ).

Tương tự, các em cũng có thể dễ dàng kiếm được góc giữa bên cạnh $SB$ và mặt dưới $(ABC)$ là ( widehatSBA ).

3. Ví dụ tính góc giữa con đường thẳng và mặt phẳng

Ví dụ 1. mang lại hình chóp $ S.ABCD $ gồm đáy $ ABCD $ là hình vuông vắn cạnh $ a $. Cạnh $ SA=asqrt6 $ với vuông góc với lòng $ (ABCD) $. Tính góc giữa:

đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (ABCD) $;đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $;đường thẳng $ SB $ với mặt phẳng $ (SAC) $;đường thẳng $ AC $ cùng mặt phẳng $ (SBC) $.

*

Hướng dẫn.

Để tính góc giữa con đường thẳng $ SC $ cùng mặt phẳng $ (ABCD) $, họ lần lượt tiến hành 3 bước:Giao điểm của con đường thẳng $ SC $ với mặt phẳng $ (ABCD) $ là điểm $C$.Trên mặt đường thẳng $SC$, chọn 1 điểm và xác minh hình chiếu vuông góc của nó xuống phương diện phẳng $(ABCD)$, nghỉ ngơi đây bọn họ chọn điểm $S$ vì dễ thấy hình chiếu vuông góc của $S$ lên khía cạnh phẳng $ (ABCD) $ chính là $A$. (Do giả thiết cạnh $ SA$ và vuông góc với lòng $ (ABCD) $.Như vậy, góc giữa đường thẳng $ SC $ với mặt phẳng $ (ABCD) $ đó là góc $SCA$ và họ đi tính số đo của góc này.Xét tam giác vuông $SAC$ gồm $ SA=asqrt6$ với $AC=asqrt2$ (do $AC$ là đường chéo của hình vuông cạnh $a$) nên bao gồm < an widehatSCA=fracSAAC=fracasqrt6asqrt2=sqrt3 > Suy ra ( widehatSCA = 60^circ ) và đây chính là đáp số bắt buộc tìm.Gọi $O$ là giao điểm của hai đường chéo $AC,BD$ thì minh chứng được $BO$ vuông góc cùng với $(SAC)$. Góc buộc phải tìm là $widehatBSO$. Đáp số $ arcsinfrac1sqrt14$.
*
Trong mặt phẳng $(SAB)$, qua $A$ kẻ đường thẳng vuông góc và giảm $SB$ tại $H$. Chứng minh được $AH$ vuông góc với $(SBC)$ và tìm được góc giữa đường thẳng $ AC $ cùng mặt phẳng $ (SBC) $ là $widehatACH$. Đáp số $arcsinfracsqrt217 $.

Ví dụ 2. Cho hình chóp $ S.ABC $ bao gồm đáy là tam giác phần đông cạnh $ a. $ cạnh bên $ SA $ bởi $ 2a $ cùng vuông góc với lòng $ (ABC). $

Tính góc giữa con đường thẳng $ SB $ cùng mặt phẳng $ (ABC). $Tính góc giữa mặt đường thẳng $ SC $ cùng mặt phẳng $ (SAB). $Gọi $ M,N $ theo lần lượt là trung điểm của $ SC $ và $ AC. $Tính góc giữa $ BM $ với mặt phẳng $ (ABC);$Tính góc thân $ SN $ với khía cạnh phẳng $ (SAB). $

Hướng dẫn.

*

Góc giữa đường thẳng $ SB $ cùng mặt phẳng $ (ABC) $ là góc $widehatSBA$.Gọi $H$ là trung điểm $AB$ thì minh chứng được $CH$ vuông góc cùng với $(SAB)$. Góc giữa con đường thẳng $ SC $ và mặt phẳng $ (SAB) $ là góc $CSH$.Góc giữa mặt đường thẳng $ BM $ cùng mặt phẳng $ (ABC)$ là $ widehatMBN $có $ anwidehatMBN=frac2sqrt33$.
*
Trong mặt phẳng $(ABC)$ kẻ $NK$ vuông góc cùng với $AB$ tại $K$ ($NK$ song song với $CH$). Thuận tiện chỉ ra được $NK$ vuông góc với $(SAB)$.Suy ra, góc giữa đường thẳng $ SN $ với phương diện phẳng $ (SAB) $ là $ widehatNSK $. Tính được $ anwidehatNSK=fracsqrt3sqrt17 $ và suy ra số đo góc đề xuất tìm.

Xem thêm: Hướng Dẫn Giải Các Dạng Phương Trình Lượng Giác Và Cách Giải Từ A

Ví dụ 3. Cho hình chóp $ S.ABCD $ có đáy là hình vuông vắn cạnh $ a $. Trung tuyến đường $ mê mẩn $ của tam giác những $ SAB $ vuông góc với đáy $ (ABCD) $ của hình chóp. Chứng minh hai con đường thẳng $ SC $ với $ SD $ tạo ra với khía cạnh phẳng $ (SAB) $ nhì góc bằng nhau. Tính góc giữa mặt đường thẳng $ centimet $ và mặt phẳng $ (SAB) $, trong số đó $ M $ là trung điểm $ SD. $

Hướng dẫn. Hai con đường thẳng $ SC $ và $ SD $ cùng chế tạo với khía cạnh phẳng $ (SAB) $ góc $ 45^circ. $ Hình chiếu của điểm $ C $ lên phương diện phẳng $ (SAB) $ là $ B. $ Hình chiếu của điểm $ M $ lên khía cạnh phẳng $ (SAB) $ là trung điểm $ N $ của $ SA. $ Góc giữa đường thẳng $ cm $ cùng mặt phẳng $ (SAB) $ bằng $ 30^circ. $

Ví dụ 4. Cho hình chóp $ S.ABCD $ tất cả đáy là hình vuông cạnh $ a $, vai trung phong $ O $ và $ SO $ vuông góc cùng với đáy. Call $ M, N $ thứu tự là trung điểm của các cạnh $ SA $ cùng $ BC $. Biết góc giữa mặt đường thẳng $ MN $ cùng mặt phẳng $ (ABCD) $ bởi $ 60^circ $. Tính độ nhiều năm $ MN $ cùng $ SO $. Tính góc giữa đường thẳng $ MN $ cùng mặt phẳng $ (SBD) $.

Hướng dẫn. Gọi $ H $ là trung điểm của $ AO $ thì $ MH $ tuy vậy song với $ SO $ yêu cầu $ H $ là hình chóp vuông góc của $ M $ lên mặt phẳng $(ABCD)$… Đáp số $ MN=fracasqrt102,SO=fracasqrt302;sinleft(MN,(SBD) ight)=frac1sqrt5 $