Cho khoảng tầm K chứa điểm $x_o$ cùng hàm số $y = fleft( x ight)$ xác định trên K hoặc $Kackslash left x_o ight$.

Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có số lượng giới hạn là số L khi x dần cho tới $x_o$nếu với dãy số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n o x_0$, ta có $fleft( x_n ight) o L$.

Kí hiệu: $mathop lim limits_x o x_o fleft( x ight) = L$ xuất xắc $fleft( x ight) = L$ khi $x o x_o$.

2. Định lí về giới hạn hữu hạn

* Định lí 1

a) đưa sử $mathop lim limits_x o x_o fleft( x ight) = L$ với $mathop lim limits_x o x_o gleft( x ight) = M$. Khi đó:

$eginarrayl mathop lim limits_x o x_o left< fleft( x ight) + gleft( x ight) ight> = L + M\ mathop lim limits_x o x_o left< fleft( x ight) - gleft( x ight) ight> = L - M\ mathop lim limits_x o x_o left< fleft( x ight).gleft( x ight) ight> = L.M\ mathop lim limits_x o x_o left< fracfleft( x ight)gleft( x ight) ight> = fracLMleft( M e 0 ight) endarray$.

b) trường hợp $fleft( x ight) ge 0$ và$mathop lim limits_x o x_o fleft( x ight) = L$, thì:

$L ge 0$ cùng $mathop lim limits_x o x_o sqrt fleft( x ight) = sqrt L$

(Dấu của $fleft( x ight)$ được xét trên khoảng tầm đang tìm giới hạn, với $x e x_o$).

3, số lượng giới hạn một mặt

* Định nghĩa

Cho hàm số $y = fleft( x ight)$ khẳng định trên khoảng chừng $left( x_o;b ight)$.

Số L được gọi là giới hạn bên nên của hàm số $y = fleft( x ight)$ khi $x o x_o$ nếu với dãy số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_0

Kí hiệu: $mathop lim limits_x o x_0^ + fleft( x ight) = L$.

Cho hàm số$y = fleft( x ight)$ xác minh trên khoảng chừng $left( a;x_o ight)$.

Số L được call là giới hạn phía bên trái của hàm số $y = fleft( x ight)$ $x o x_o$ nếu với hàng số $left( x_n ight)$ bất kì, $a $x_n o x_0$, ta gồm $fleft( x_n ight) o L$..

Kí hiệu: $mathop lim limits_x o x_0^ - fleft( x ight) = L$.

* Định lí 2

$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = L$ khi và chỉ khi $mathop lim limits_x o x_0^ - fleft( x ight) = mathop lim limits_x o x_0^ + fleft( x ight) = L$.

II. Số lượng giới hạn hữu hạn của hàm số trên vô rất

* Định nghĩa

a) đến hàm số$y = fleft( x ight)$ khẳng định trên khoảng $left( a; + infty ight)$.

Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có giới hạn là L khi $x o + infty$ giả dụ với dãy số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n > a$ cùng $x_n o + infty$, ta tất cả $fleft( x_n ight) o L$.

Kí hiệu: $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight) = L$ giỏi $fleft( x ight) o L$ khi $x o + infty$.

b) mang lại hàm số$y = fleft( x ight)$ xác minh trên khoảng tầm $left( - infty ;a ight)$.

Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có giới hạn là L khi $x o - infty$ giả dụ với dãy số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n $fleft( x_n ight) o L$.

Kí hiệu: $mathop lim limits_x o - infty fleft( x ight) = L$ hay$fleft( x ight) o L$ khi $x o - infty$.

III. Số lượng giới hạn vô rất của hàm số

1. Số lượng giới hạn vô rất

* Định nghĩa

Cho hàm số$y = fleft( x ight)$ xác minh trên khoảng$left( a; + infty ight)$.

Ta nói hàm số$y = fleft( x ight)$ có giới hạn là $ - infty$ khi $x o + infty$ trường hợp với hàng số $left( x_n ight)$ bất kì, $x_n > a$ với $x_n o + infty$, ta tất cả $fleft( x_n ight) o - infty$.

Kí hiệu: $mathop lim limits_x o + infty fleft( x ight) = - infty$ xuất xắc $fleft( x ight) o - infty$ khi $x o + infty$.

2. Một vài giới hạn đặc biệt

a) $mathop lim limits_x o + infty x^k = + infty$ cùng với k nguyên dương.

b) $mathop lim limits_x o - infty x^k = - infty$ nếu như k là số lẻ.


Bạn đang xem: Giới hạn hữu hạn của hàm số


Xem thêm: Luyện Thi Đại Học Chuyên Đề Logarit Ôn Thi Đại Học Sinh Trung Bình, Yếu

c) $mathop lim limits_x o - infty x^k = + infty$ nếu k là số chẵn.

3. Một vài quy tắc về số lượng giới hạn vô cực

a) quy tắc tìm số lượng giới hạn của tích $fleft( x ight).gleft( x ight)$

*

b) luật lệ tìm giới hạn của mến $fracfleft( x ight)gleft( x ight)$