Các dạng bài bác tập giải phương trình bậc 2 số phứcGiải phương trình 2 số phức là là 1 trong những chủ để hay thuộc chương số phức lớp 12. Trong nội dung bài viết này bản thân sẽ chia sẻ với bạn không chỉ triết lý hơn nữa 6 dạng bài xích tập thường gặp. Đi kèm giải pháp luôn tất cả ví dụ kèm giải thuật cụ thể cụ thể. Phần cuối có bài tập rèn luyện kĩ năng với kỳ vọng bạn luyện tốt chủ đề này. Ta mở màn

1. Kim chỉ nan phương trình bậc 2 số phức

a) Căn bậc nhì của số phức

Cho số phức w. Từng số phức z thỏa mãn nhu cầu USD z ^ 2 = w USD được gọi là một căn bậc hai của w

b) Phương trình bậc nhì với hệ số thực


Bạn đã đọc: các dạng bài bác tập giải phương trình bậc 2 số phức


Cho phương trình bậc nhị USD a x ^ 2 + bx + c = 0 , , left ( a, , b, , c in mathbb R ; , a ne 0 right ) USD. Xét USD Delta = b ^ 2 – 4 ac USD, ta có

∆ = 0 phương trình gồm nghiệm thực $x=-fracb2a$.∆ > 0: phương trình bao gồm hai nghiệm thực được khẳng định bởi công thức: $x_1,2=frac-bpm sqrtDelta 2a$.∆

Chú ý .

Bạn đang xem: Giải phương trình số phức bậc 2

Mọi phương trình bậc n: $A_oz^n+A_1z^n-1+…+A_n-1z+A_n=0$ luôn luôn có n nghiệm phức (không duy nhất thiết phân biệt).Hệ thức Vi–ét đối với phương trình bậc nhị với thông số thực: mang đến phương trình bậc hai $ax^2+bx+c=0,,left( a e 0 ight)$ có hai nghiệm sáng tỏ (thực hoặc phức). Ta gồm hệ thức Vi–ét $left{ egingathered S = x_1 + x_2 = – fracba hfill \ p. = x_1.x_2 = fracca hfill \ endgathered ight.$

2. Các dạng bài bác tập giải phương trình số phức

Dạng 1. Phương trình bậc nhị với hệ số phức

*

Ví dụ: Biết $z_1,z_2$ là hai nghiệm số phức của phương trình $z^2-2z+4=0.$ Tính |z1| + |z2|.

Lời giảiTa gồm USD Delta = b ^ 2 – 4 ac = – 12 USDCăn bậc nhì của ∆ là USD pm i sqrt 12 USDSuy ra phương trình bao gồm hai nghiệm minh bạch là USD z _ 1 = frac 2 + i sqrt 12 2 USD với USD z _ 1 = frac 2 – i sqrt 12 2 USD

Dạng 2: Tìm các thuộc tính của số phức thỏa mãn điều khiếu nại K

*

Ví dụ: Tìm các số thực x, y thỏa mãn điều kiện

a ) ( 2 − i ) x + ( 2 + y ) i = 2 + 2 ib ) USD frac x – 2 1 + i + frac y – 3 1 – i = i USDLời giải

*

Dạng 3. Tính quý hiếm của biểu thức

Phương pháp giảiChuẩn hóa số phức, phụ thuộc vào điều kiện đương nhiên đã đến để search số phức z

Ví dụ: mang lại số phức $z_1 e 0,$ $z_2 e 0$ thỏa mãn $left| z_1 ight|=left| z_2 ight|=left| z_1-z_2 ight|.$ Tính giá trị của biểu thức $P=left( fracz_1z_2 ight)^4+left( fracz_2z_1 ight)^4$

Lời giảiChuẩn hóa $ z _ 1 = 1, USD đặt USD z _ 2 = a + bi, left ( a, b in R right ), USD khi đó USD left | z _ 2 right | = sqrt a ^ 2 + b ^ 2 USD

*

Dạng 4. Bài xích toán thực hiện bất đẳng thức trong các phức

Phương pháp giải

*

Các bất đẳng thức cổ xưa

*

Ví dụ 1: mang đến số phức z thỏa mãn nhu cầu |z – 3 + 4i| = 4. Tìm giá bán trị lớn nhất của p. = |z|

Lời giải

*

Ví dụ 2: cho số phức z thỏa mãn nhu cầu điều khiếu nại |iz + 4 – 3i| = 1. Tìm giá bán trị nhỏ dại nhất của |z|

Lời giải

*

Dạng 5. áp dụng bình phương vô hướng

Phương pháp giải

*

Ví dụ . đến hai số phức z1, x2 thỏa mãn |z1 + 2z2| = 5 cùng |3z1 – z2| = 3. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức p = |z1| + |z2|

Lời giải

*

Dạng 6. áp dụng hình chiếu và tương giao

Phương pháp giải

*

Ví dụ: cho các số phức z = x + iy, (x, y ∈ R) thỏa mãn nhu cầu |z + 2 – 2i | = |z – 4i| Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của |iz + 1|.

Lời giải

*

3. Bài bác tập phương trình số phức

Câu 1. Vào $mathbbC$, phương trình $2x^2+x+1=0$ gồm nghiệm là:

A. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( – 1 – sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( – 1 + sqrt 7 i right ) USDB. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( 1 + sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( 1 – sqrt 7 i right ) USDC. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( – 1 + sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( 1 – sqrt 7 i right ) USDD. USD x _ 1 = frac 1 4 left ( 1 + sqrt 7 i right ) ; x _ 2 = frac 1 4 left ( – 1 – sqrt 7 i right ) USDLời giảiTa có : USD Delta = b ^ 2 – 4 ac = 1 ^ 2 – 4.2.1 = – 7 = 7 i ^ 2 Câu 2. Trong $mathbbC$, phương trình $left| z ight|+z=2+4i$ tất cả nghiệm là:

A. USD z = – 3 + 4 i USDB. USD z = – 2 + 4 i USDC. USD z = – 4 + 4 i USDD. USD z = – 5 + 4 i USDLời giảiĐặt USD z = a + bi , left ( a, b in mathbb R right ) Rightarrow left | z right | = sqrt a ^ 2 + b ^ 2 USD .Thay vào phương trình : USD sqrt a ^ 2 + b ^ 2 + a + bi = 2 + 4 i USDSuy ra USD left { begin gathered sqrt a ^ 2 + b ^ 2 + a = 2 hfill b = 4 hfill end gathered right. Leftrightarrow left { begin gathered a = – 3 hfill b = 4 hfill kết thúc gathered right. USDTa chọn đáp án A .

Câu 3. Hai cực hiếm $x_1=a+bi,;,x_2=a-bi$ là hai nghiệm của phương trình:

A. USD x ^ 2 + 2 ax + a ^ 2 + b ^ 2 = 0 USDB. USD x ^ 2 + 2 ax + a ^ 2 – b ^ 2 = 0 USDC. USD x ^ 2 – 2 ax + a ^ 2 + b ^ 2 = 0 USD

D. $x^2-2ax+a^2-b^2=0$



Lời giảiÁp dụng định lý hòn đảo Viet : USD left { begin gathered S = x_1 + x_2 = 2 a hfill p = x_1 . x_2 = a ^ 2 + b ^ 2 hfill end gathered right. USDDo kia USD x _ 1 , x _ 2 USD là nhì nghiệm của phương trình : USD x ^ 2 – Sx + p = 0 Leftrightarrow x ^ 2 – 2 ax + a ^ 2 + b ^ 2 = 0 USDTa chọn đáp án A .

Câu 4. Trong $mathbbC$, nghiệm của phương trình $z^2+sqrt5=0$ là:

A. USD left < begin gathered z = sqrt 5 hfill z = – sqrt 5 hfill end gathered right. USDB. USD left < begin gathered z = sqrt < 4 > 5 i hfill z = – sqrt < 4 > 5 i hfill kết thúc gathered right. USDC. USD sqrt 5 i USDD. USD – sqrt 5 i USDLời giảiUSD z ^ 2 + sqrt 5 = 0 Leftrightarrow z ^ 2 = – sqrt 5 Leftrightarrow z = pm i sqrt < 4 > 5 USDTa chọn lời giải A .

Câu 5. Vào $mathbbC$, phương trình $z^4-6z^2+25=0$ tất cả nghiệm là:

A. USD pm 8 cùng , ; , pm 5 i USDB. USD pm 3 , ; , pm 4 i USDC. USD pm 5 với , ; , pm 2 i USDD. USD pm left ( 2 + i right ) với , ; , pm left ( 2 – i right ) USDLời giảiUSD begin gathered z ^ 4 – 6 z ^ 2 + 25 = 0 hfill Leftrightarrow left ( z ^ 2 – 3 right ) ^ 2 + 16 = 0 hfill Leftrightarrow z ^ 2 – 3 = pm 4 i hfill Leftrightarrow z ^ 2 = 3 pm 4 i hfill Leftrightarrow left < begin gathered z = pm left ( 2 + i right ) hfill z = pm left ( 2 – i right ) hfill over gathered right. hfill end gathered USDTa chọn câu trả lời A .

Câu 6. Gồm bao nhiêu số phức thỏa mãn điều khiếu nại $z^2=|z^2+overlinez$?

A. 3B. 0C. 1D. 2Lời giảiGọi USD z = a + bi , left ( a, b in mathbb R right ) USD là số phức thỏa mãn nhu yếu điều kiện hẳn nhiên trên. Ta tất cả :USD begin gathered z ^ 2 = | z ^ 2 + overline z Leftrightarrow left ( a + bi right ) ^ 2 = a ^ 2 + b ^ 2 + a – bi hfill Leftrightarrow a + 2 b ^ 2 – bi – 2 abi = 0 hfill Leftrightarrow left ( a + 2 b ^ 2 right ) + left ( – b – 2 ab right ) i = 0 hfill Leftrightarrow left { begin gathered a + 2 b ^ 2 = 0 hfill b + 2 ab = 0 hfill kết thúc gathered right. Leftrightarrow left { begin gathered a + 2 b ^ 2 = 0 hfill left < begin gathered b = 0 hfill a = – frac 1 2 hfill end gathered right. hfill kết thúc gathered right. hfill Leftrightarrow left < begin gathered a = b = 0 hfill left { begin gathered a = – frac 1 2 hfill b = pm frac 1 2 hfill kết thúc gathered right. hfill over gathered right. hfill end gathered USDVậy bao gồm 3 số phức thỏa mãn yêu cầu nhu yếu vấn đề .Ta chọn đáp án A .

Câu 7. Phương trình $left( 2+i ight)z^2+az+b=0,left( a,bin mathbbC ight)$ có hai nghiệm là $3+i$ cùng $1-2i$. Khi đó $a=?$

A. – 9-2 iB. 15 + 5 iC. 9 + 2 iD. 15-5 iLời giảiTheo Viet, ta gồm :USD S = z _ 1 + z _ 2 = – frac a 2 + i = 4 – i Leftrightarrow a = left ( i-4 right ) left ( i + 2 right ) Leftrightarrow a = – 9-2 i USDTa chọn giải đáp A .

Câu 8. Giả sử $z_1,z_2$ là nhì nghiệm của phương trình $z^2-2z+5=0$ với A, B là những điểm màn trình diễn của $z_1,z_2$. Tọa độ trung điểm I của đoạn trực tiếp AB là:

A. USD I left ( 1 ; 1 right ) USDB. USD I left ( – 1 ; 0 right ) USDC. USD I left ( 0 ; 1 right ) USDD. USD I left ( 1 ; 0 right ) USDLời giảiUSD z ^ 2 – 2 z + 5 = 0 Leftrightarrow left ( z-1 right ) ^ 2 + 4 = 0 Leftrightarrow z = 1 pm 2 i USDUSD Rightarrow A left ( 1 ; 2 right ) ; , B left ( 1 ; – 2 right ) USDDo đó tọa độ trung điểm I của đoạn thẳng AB là USD I left ( 1 ; 0 right ) USD .Ta chọn câu trả lời A .

Xem thêm: Tổng Hợp Tìm Tập Xác Định Của Hàm Số Lớp 11, Đại Số Lớp 11: Tập Xác Định Của Hàm Số Lượng Giác

Câu 9. Phương trình $x^4+2x^2-24x+72=0$ trên tập số phức có các nghiệm là:

A. USD 2 pm i sqrt 2 USD hoặc USD – 2 pm 2 i sqrt 2 USDB. USD 2 pm i sqrt 2 USD hoặc USD 1 pm 2 i sqrt 2 USDC. USD 1 pm 2 i sqrt 2 USD hoặc USD – 2 pm 2 i sqrt 2 USDD. USD – 1 pm 2 i sqrt 2 USD hoặc USD – 2 pm 2 i sqrt 2 USDLời giảiUSD begin gathered x ^ 4 + 2 x ^ 2 – 24 x + 72 = 0 hfill Leftrightarrow left ( x ^ 2 – 4 x + 6 right ) left ( x ^ 2 + 4 x + 12 right ) = 0 hfill Leftrightarrow left < begin gathered x ^ 2 – 4 x + 6 = 0 hfill x ^ 2 + 4 x + 12 = 0 hfill over gathered right. hfill Leftrightarrow left < begin gathered left ( x – 2 right ) ^ 2 + 2 = 0 hfill left ( x + 2 right ) ^ 2 + 8 = 0 hfill kết thúc gathered right. hfill Leftrightarrow left < begin gathered x = 2 pm sqrt 2 i hfill x = – 2 pm 2 sqrt 2 i hfill over gathered right. hfill over gathered USDTa chọn giải đáp A .

Câu 10. Hotline $z_1,z_2$ là các nghiệm phức của phương trình $z^2+sqrt3z+7=0$. Khi đó $A=z_1^4+z_2^4$ có mức giá trị là: