Bài viết này leveehandbook.net tổng phù hợp và trình làng lại một số trong những công thức tính cấp tốc thể tích của khối tứ diện cho một số trường hợp đặc biệt quan trọng hay gặp

https://www.leveehandbook.net/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2021-mon-toan-danh-cho-teen-2k3-12

Đồng thời trình diễn công thức tổng quát tính thể tích đến khối tứ diện bất kỳ khi biết độ dài toàn bộ 6 cạnh của tứ diện. Vấn đề ghi nhớ những công thức này giúp những em xử lý nhanh một số dạng bài bác khó về thể tích khối tứ diện vào đề thi THPT đất nước 2019 - Môn Toán.

Bạn đang xem: Công thức tính thể tích tứ diện

Bài viết này trích lược một số trong những công thức cấp tốc hay cần sử dụng cho khối tứ diện. Các công thức nhanh khác tương quan đến thể tích khối tứ diện cùng thể tích khối lăng trụ chúng ta đọc tham khảo khoá bộ combo X bởi leveehandbook.net xây dựng tại đây:https://www.leveehandbook.net/khoa-hoc/nhom/combo-4-khoa-luyen-thi-thpt-quoc-gia-2020-mon-toan-danh-cho-teen-2k2-9

Công thức tổng quát:Khối tứ diện $ABCD$ tất cả $BC=a,CA=b,AB=c,AD=d,BD=e,CD=f$ ta bao gồm công thức tính thể tích của tứ diện theo sáu cạnh như sau: trong các số ấy <eginalign và M=a^2d^2(b^2+e^2+c^2+f^2-a^2-d^2) \ và N=b^2e^2(a^2+d^2+c^2+f^2-b^2-e^2) \ & P=c^2f^2(a^2+d^2+b^2+e^2-c^2-f^2) \ và Q=(abc)^2+(aef)^2+(bdf)^2+(cde)^2 \ endalign>

Công thức 1: Khối tứ diện đều

Khối tứ diện phần đa cạnh $a,$ ta bao gồm $V=dfraca^3sqrt212.$

Ví dụ 1: Cho tứ diện đều sở hữu chiều cao bởi . Thể tích của khối tứ diện đã mang lại là

A. .

B. .

C. .

D. .

Giải.Thể tích tứ diện đầy đủ cạnh $a$ là $V=fracsqrt2a^312.$

Chiều cao tứ diện các là $h=frac3VS=frac3left( fracsqrt2a^312 ight)fracsqrt3a^24=sqrtfrac23aRightarrow a=sqrtfrac32h.$

Vì vậy $V=fracsqrt212left( sqrtfrac32h ight)^3=fracsqrt3h^38.$ Chọn câu trả lời B.

Công thức 2: Khối tứ diện vuông (các góc tại một đỉnh của tứ diện là góc vuông)

Với tứ diện $ABCD$ gồm $AB,AC,AD$ đôi một vuông góc và $AB=a,AC=b,AD=c,$ ta tất cả $V=dfrac16abc.$

Công thức 3: Khối tứ diện gần đều (các cặp cạnh đối tương xứng bằng nhau)

Với tứ diện $ABCD$ có $AB=CD=a,BC=AD=b,AC=BD=c$ ta gồm

*

Ví dụ 1:Chokhối tứ diện $ABCD$có $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ Thể tích khối tứ diện đã cho bằng

A. $fracsqrt303.$

B. $frac20sqrt113.$

C. $sqrt30.$

D. $20sqrt11.$

Giải. Ta có $V_ABCD=fracsqrt212sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac20sqrt113.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=8,AD=BC=5$ cùng $AC=BD=7.$ call $M$ là trung điểm cạnh $AB.$Khoảng cách từ điểm $A$ đến mặt phẳng $(CMD)$bằng

A. $fracsqrt312.$

B. $fracsqrt552.$

C. $fracsqrt212.$

D. $fracsqrt332.$

Giải. Ta gồm $V_AMCD=fracAMABV_ABCD=frac12V_ABCD=fracsqrt224sqrt(8^2+5^2-7^2)(5^2+7^2-8^2)(7^2+8^2-5^2)=frac10sqrt113.$

Tam giác $MCD$ bao gồm $CD=8$ cùng theo phương pháp đường trung con đường ta có:

$MC=sqrtfrac2(CA^2+CB^2)-AB^24=sqrtfrac2(7^2+5^2)-8^24=sqrt21.$

và $MD=sqrtfrac2(DA^2+DB^2)-AB^24=sqrtfrac2(5^2+7^2)-8^24=sqrt21.$

Vậy $S_MCD=4sqrt5.$ do đó $d(A,(MCD))=frac3V_AMCDS_MCD=frac10sqrt114sqrt5=fracsqrt552.$ Chọn đáp án B.

Ví dụ 3:Khối tứ diện $ABCD$ bao gồm $AB=CD=5a,AC=BD=6a,AD=BC=7a$ có thể tích bằng

A. $sqrt95a^3.$

B. $8sqrt95a^3.$

C. $2sqrt95a^3.$

D. $4sqrt95a^3.$

Giải.Áp dụng bí quyết tính thể tích khối tứ diện gần phần đa có

$V_ABCD=dfracsqrt212sqrtleft( 5^2+6^2-7^2 ight)left( 6^2+7^2-5^2 ight)left( 7^2+5^2-6^2 ight)a^3=2sqrt95a^3.$

Chọn đáp án C.

Công thức 4: Khối tứ diện có khoảng cách và góc giữa cặp cạnh đối lập của tứ diện

Tứ diện $ABCD$ bao gồm $AD=a,BC=b,d(AD,BC)=d,(AD,BC)=alpha ,$ ta có $V=dfrac16abdsin alpha .$

Ví dụ 1.Cho khối tứ diện $ABCD$ gồm $AB=AC=BD=CD=1.$ lúc thể tích khối tứ diện $ABCD$ đạt giá bán trị lớn nhất thì khoảng cách giữa hai tuyến phố thẳng $AD$ cùng $BC$ bằng
A. $frac2sqrt3.$ B. $frac1sqrt3.$ C. $frac1sqrt2.$ D. $frac13.$

Ví dụ 2:Cho nhì mặt cầu $(S_1),(S_2)$ tất cả cùng trọng tâm $I$ và bán kính lần lượt $R_1=2,R_2=sqrt10.$ Xét tứ diện $ABCD$ tất cả hai đỉnh $A,B$ vị trí $(S_1);$ nhị đỉnh $C,D$ nằm tại $(S_2).$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có giá trị lớn nhất bằng

A. $3sqrt2.$

B. $2sqrt3.$

C. $6sqrt3.$

D. $6sqrt2.$

Giải.Gọi $a,b$ theo lần lượt là khoảng cách từ tâm $I$ đến hai đường thẳng $AB,CD.$

Ta tất cả $AB=2sqrtR_1^2-a^2=2sqrt4-a^2;CD=2sqrtR_2^2-b^2=2sqrt10-b^2$ và $d(AB,CD)le d(I,AB)+d(I,CD)=a+b$ với $sin (AB,CD)le 1.$

Do đó vận dụng công thức tính thể tích tứ diện theo khoảng chừng cách chéo nhau của cặp cạnh đối lập có:

$egingathered V_ABCD = frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD) leqslant frac23(a + b)sqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 \ = frac23left( asqrt 4 - a^2 sqrt 10 - b^2 + bsqrt 10 - b^2 sqrt 4 - a^2 ight) = frac23left( sqrt 4a^2 - a^4 sqrt 10 - b^2 + sqrt frac10b^2 - b^42 sqrt 8 - 2a^2 ight) \ leqslant frac23sqrt left( 4a^2 - a^4 + 8 - 2a^2 ight)left( 10 - b^2 + frac10b^2 - b^42 ight) = frac23sqrt left( - (a^2 - 1)^2 + 9 ight)left( - frac12(b^2 - 4)^2 + 18 ight) leqslant frac23sqrt 9.18 = 6sqrt 2 . \ endgathered $

Dấu bằng đạt trên $(a;b)=(1;2).$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 3:Cho một hình trụ gồm thiết diện qua trục là một hình vuông vắn cạnh bởi $a.$ biết rằng $AB$ với $CD$ là hai 2 lần bán kính tương ứng của nhì đáy với góc giữa hai tuyến phố thẳng $AB$ và $CD$ bởi $30^circ .$ Tính thể tích khối tứ diện $ABCD.$

A. $fraca^312.$

B. $fraca^3sqrt36.$

C. $fraca^36.$

D. $fraca^3sqrt312.$

Có $h=2r=a;V_ABCD=frac16AB.CD.d(AB,CD).sin (AB,CD)=frac13.2r.2r.h.sin 30^0=fraca^36.$ Chọn đáp án C.

Công thức 5: Khối tứ diện biết diện tích s hai khía cạnh kề nhau

*

Ví dụ 1: cho khối chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $A,AB=a,widehatSBA=widehatSCA=90^circ ,$ góc thân hai khía cạnh phẳng $(SAB)$ cùng $(SAC)$ bằng $60^circ .$ Thể tích của khối chóp đã đến bằng

A. $a^3.$

B. $fraca^33.$

C. $fraca^32.$

D. $fraca^36.$

Lời giải bỏ ra tiết. hotline $H=mathbfh/c(S,(ABC))$ ta gồm $left{ egingathered AB ot SB hfill \ AB ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AB ot (SBH) Rightarrow AB ot BH;left{ egingathered AC ot SC hfill \ AC ot SH hfill \ endgathered ight. Rightarrow AC ot (SCH) Rightarrow AC ot CH.$ Kết hợp với $ABC$ là tam giác vuông cân nặng tại $A,AB=a$ suy ra $ABHC$ là hình vuông.

*
Đặt $h=SHRightarrow V_S.ABC=frac13S_ABC.SH=fraca^2h6(1).$

Mặt không giống $V_S.ABC=frac2S_SAB.S_SAC.sin left( (SAB),(SAC) ight)3SA=frac2left( fracasqrta^2+h^22 ight)left( fracasqrta^2+h^22 ight)fracsqrt323sqrt2a^2+h^2(2).$

Từ (1) cùng (2) suy ra $h=aRightarrow V=fraca^36.$ Chọn lời giải D.

Ví dụ 2:Cho tứ diện $ABCD$ gồm $widehatABC=widehatBCD=widehatCDA=90^0,BC=a,CD=2a,cos left( (ABC),(ACD) ight)=dfracsqrt13065.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ bằng

A. $fraca^33.$

B. $a^3.$

C. $frac2a^33.$

D. $3a^3.$

Lời giải đưa ra tiết. gọi $H=mathbfh/c(A,(BCD)).$ Đặt $AH=hRightarrow V_ABCD=frac13S_BCD.AH=frac13.frac12CB.CD.AH=fraca^2h3(1).$

*

Ta tất cả $left{ egingathered CB ot tía hfill \ CB ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CB ot (ABH) Rightarrow CB ot HB.$ tựa như $left{ egingathered CD ot domain authority hfill \ CD ot AH hfill \ endgathered ight. Rightarrow CD ot (ADH) Rightarrow CD ot HD.$

Kết hợp với $widehatBCD=90^0Rightarrow HBCD$ là hình chữ nhật.

Suy ra $AB=sqrtAH^2+HB^2=sqrth^2+4a^2,AD=sqrtAH^2+HD^2=sqrth^2+a^2;AC=sqrtAB^2+BC^2=sqrth^2+5a^2.$

Suy ra $S_ABC=frac12AB.BC=fracasqrth^2+4a^22;S_ACD=frac12AD.DC=asqrth^2+a^2.$

Suy ra $V_ABCD=frac2S_ABC.S_ACD.sin left( (ABC),(ACD) ight)3AC=fraca^2sqrth^2+4a^2sqrth^2+a^23sqrth^2+5a^2sqrt1-left( fracsqrt13065 ight)^2(2).$

Kết phù hợp (1), (2) suy ra: $h=3aRightarrow V_ABCD=a^3.$ Chọn lời giải B.

Ví dụ 3:Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy là hình thoi cạnh $a,widehatABC=120^0.$ cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy và góc giữa hai khía cạnh phẳng $(SBC),(SCD)$ bởi $60^0,$ lúc ấy $SA$ bằng

A. $dfracsqrt6a4.$

B. $sqrt6a.$

C. $dfracsqrt6a2.$

D. $dfracsqrt3a2.$

Có $SA=x>0Rightarrow V_S.BCD=dfrac13S_BCD.SA=dfracsqrt3x12(1),left( a=1 ight).$

Mặt khác $V_S.BCD=dfrac2S_SBC.S_SCD.sin left( (SBC),(SCD) ight)3SC=dfrac2left( dfracsqrt4x^2+34 ight)^2dfracsqrt323sqrtx^2+3(2).$

Trong kia $BC=1,SB=sqrtx^2+1,SC=sqrtx^2+3Rightarrow S_SBC=dfracsqrt4x^2+34;Delta SBC=Delta SDC(c-c-c)Rightarrow S_SCD=dfracsqrt4x^2+34.$

Từ (1) và (2) suy ra Chọn lời giải A.

Ví dụ 4: mang lại tứ diện $ABCD$ tất cả $ABC$ cùng $ABD$ là tam giác mọi cạnh bằng $a.$ Thể tích khối tứ diện $ABCD$ có mức giá trị lớn số 1 bằng

A. $dfraca^38.$

B. $dfraca^3sqrt212.$

C. $dfraca^3sqrt38.$

D. $dfraca^3sqrt312.$

Có $V_ABCD=dfrac2S_ABCS_ABDsin left( (ABC),(ABD) ight)3AB=dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( dfracsqrt3a^24 ight)3asin left( (ABC),(ABD) ight)le dfrac2left( dfracsqrt3a^24 ight)left( fracsqrt3a^24 ight)3a=dfraca^38.$

Dấu bằng đạt trên $(ABC)ot (ABD).$ Chọn giải đáp A.

Công thức 6:Mở rộng mang lại khối chóp có diện tích mặt bên và mặt đáy

Khối chóp $S.A_1A_2...A_n$ gồm $V=dfrac2S_SA_1A_2.S_A_1A_2...A_n.sin left( (SA_1A_2),(A_1A_2...A_n) ight)3A_1A_2.$

Công thức 7: Khối tứ diện khi biết các góc tại và một đỉnh

Khối chóp $S.ABC$ tất cả $SA=a,SB=b,SC=c,widehatBSC=alpha ,widehatCSA=eta ,widehatASA=gamma .$

Khi kia $V=dfracabc6sqrt1+2cos alpha cos eta cos gamma -cos ^2alpha -cos ^2eta -cos ^2gamma .$

*

Ví dụ 1:Khối tứ diện $ABCD$ có $AB=5,CD=sqrt10,AC=2sqrt2,BD=3sqrt3,AD=sqrt22,BC=sqrt13$ rất có thể tích bằng

A. $20.$

B. $5.$

C. $15.$

D. $10.$

Giải.

Xem thêm: Ứng Dụng Của Đạo Hàm Trong Vật Lý, Ứng Dụng Đạo Hàm Và Tích Phân Trong Vật Lý

Tứ diện này còn có độ dài tất cả các cạnh ta tính các góc tại một đỉnh rồi áp dụng công thức thể tích khối tứ diện dựa trên 3 góc bắt nguồn từ cùng 1 đỉnh:

Có $left{ egingatheredhfill cos widehatBAD=dfracAB^2+AD^2-BD^22AB.AD=sqrtdfrac211 \ hfill cos widehatDAC=dfracAD^2+AC^2-CD^22AD.AC=dfrac52sqrt11 \ hfill cos widehatCAB=dfracAC^2+AB^2-BC^22AC.AB=dfrac1sqrt2 \ endgathered ight..$

Vì vậy $V_ABCD=dfrac16.5.2sqrt2.sqrt22sqrt1+2sqrtdfrac211dfrac52sqrt11dfrac1sqrt2-left( sqrtdfrac211 ight)^2-left( dfrac52sqrt11 ight)^2-left( dfrac1sqrt2 ight)^2=5.$

Chọn câu trả lời B.

*