Hàm số liên tục còn được đọc là xét tính tiếp tục của hàm số, đó là một một nhà để quan trọng thuộc toán lớp 11 bậc trung học phổ thông. Là kỹ năng căn phiên bản để chúng ta học giỏi chủ đề hàm số. Bài viết này đã tóm lược những kim chỉ nan trọng tâm đề nghị nhớ đôi khi phân dạng bài tập cụ thể giúp chúng ta rèn luyện kĩ năng giải bài tập hàm số liên tục.

Bạn đang xem: Chứng minh hàm số liên tục trên r


1. Triết lý hàm số liên tục

1.1 Hàm số thường xuyên tại một điểm

Hàm số liên tiếp là gì?

Định nghĩa: đến hàm số y = f(x) xác minh trên khoảng (a; b). Hàm số y = f(x) được điện thoại tư vấn là thường xuyên tại điểm x ∈ (a; b) trường hợp $mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight) = fleft( x_0 ight)$

Nếu trên điểm x hàm số y = f(x) ko liên tục, thì được hotline là ngăn cách tại x và điểm x được hotline là điểm cách trở của hàm số y = f(x).


f(x) xác minh tại x.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ tồn tại.$mathop lim limits_x o x_0 fleft( x ight)$ = f(x)

Hàm số y = f(x) cách trở tại điểm x nếu gồm ít nhất một trong 3 đk trên ko thỏa mãn. Giả dụ sử dụng giới hạn một bên thì:

*

Đặc trưng không giống của tính liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = (x) xác minh trên (a; b). Mang sử x và x (x ≠ x) là hai phần tử của (a; b)

Hiệu x−x, cam kết hiệu: ∆x, được điện thoại tư vấn là số gia của đối số trên điểm x. Ta có: ∆x = x−x ⇔ x = x+∆x.

Hiệu y − y, cam kết hiệu: ∆y, được gọi là số gia tương xứng của hàm số trên điểm x. Ta có: ∆y = y − y = f(x) − f(x) = f(x + ∆x) − f(x).


Đặc trưng: cần sử dụng khái niệm số gia, ta hoàn toàn có thể đặc trưng tính liên tục của hàm số y = f(x) tại điểm x như sau:

1.2 Hàm số liên tiếp trên một khoảng

Hàm số y = f(x) được gọi là thường xuyên trong khoảng chừng (a; b) ví như nó thường xuyên tại từng điểm của khoảng tầm đó.Hàm số y = f(x) được hotline là tiếp tục trên đoạn nếu nó:

*

1.3 những định lý về hàm số liên tục

Định lí 2. Tổng, hiệu, tích, yêu đương (với chủng loại số không giống 0) của những hàm số tiếp tục tại một điểm là hàm số liên tục tại điểm đó. Trả sử y = f(x) cùng y = g(x) là nhị hàm số tiếp tục tại điểm x. Lúc đó:

Các hàm số y = f(x) + g(x), y = f(x) − g(x) và y = f(x).g(x) tiếp tục tại điểm xHàm số $y = fracfleft( x ight)gleft( x ight)$ thường xuyên tại x trường hợp g(x) = 0

Định lí 3. Những hàm đa thức, hàm số hữu tỉ, hàm lượng giác là tiếp tục trên tập xác minh của nó.


*

2. Phân dạng hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số trên một điểm

*

Dạng 2. Xét tính tiếp tục của hàm số tại một điểm

*

Dạng 3. Xét tính tiếp tục của hàm số trên một khoảng

Để xét tính tiếp tục hoặc khẳng định giá trị của tham số nhằm hàm số liên tiếp trên khoảng I, chúng ta thực hiện nay theo công việc sau:

bước 1: Xét tính tiếp tục của hàm số trên những khoảng đơn.Bước 2: Xét tính liên tục của hàm số tại những điểm giao.Bước 3: Kết luận

Dạng 4. Sử dụng tính thường xuyên của hàm số để triệu chứng minh

Cho phương trình f(x) = 0, để chứng minh phương trình bao gồm k nghiệm trong , ta thực hiện theo quá trình sau

*

Dạng 5. Sử dụng tính tiếp tục của hàm số nhằm xét dấu hàm số

Sử dụng tác dụng : “Nếu hàm số y = f(x) tiếp tục và ko triệt tiêu trên đoạn thì tất cả dấu nhất mực trên khoảng (a; b)”

3. Bài bác tập hàm số liên tục

Bài tập 1. Xét tính liên tiếp của hàm số sau trên điểm x = 1:

*

Lời giải

Dựa vào dạng 1: Xét tính thường xuyên của hàm số trên một điểm

Hàm số xác định với phần đa x ∈ R

*

Bài tập 2. Mang đến hàm số

*

Lời giải

Dựa vào dạng 2: Xét tính tiếp tục của hàm số tại một điểm

*

Bài tập 3. Chứng tỏ hàm số $fleft( x ight) = sqrt 8 – 2x^2 $ thường xuyên trên đoạn < -2; 2>


Lời giải

Dự vào dạng 3. Xét tính liên tục của hàm số bên trên một khoảng

Hàm số thường xuyên trên đoạn <−2; 2>

Với x ∈ (−2; 2), ta có: $mathop lim limits_x o x_0 sqrt 8 – 2x^2 = sqrt 8 – 2x_0^2 = fleft( x_0 ight)$

Vậy, hàm số liên tiếp trên khoảng chừng (−2; 2).

Xem thêm: Viết Phương Trình Đường Thẳng Đi Qua 1 Điểm Và Tiếp Xúc Với Đồ Thị

Ngoài ra, sử dụng giới hạn một mặt ta minh chứng được:

Hàm số f(x) liên tục phải trên điểm x = −2.Hàm số f(x) tiếp tục trái tại điểm x = 2.Vậy, hàm số liên tục trên đoạn <−2; 2>.

Bài tập 4. Minh chứng rằng phương trình x5 + x − 1 = 0 bao gồm nghiệm trên khoảng (−1; 1)

Lời giải

Dựa vào dạng 4. Sử dụng tính thường xuyên của hàm số để bệnh minh

Xét hàm số f(x) = x5 + x − 1 liên tục trên R ta gồm :f(−1).f(1) = −3.1 = −3 Toán học tập giải đáp chúng ta rõ hơn. Chúc bàn sinh hoạt tập hiệu quả,