Cách chứng minh hàm số thường xuyên tại một điểm, hàm số liên tiếp trên một khoảng

Hàm số liên tục là một trong những mảng loài kiến thức đặc trưng của Giải tích, trong bài xích này chúng tôi xin ra mắt tóm tắt triết lý về hàm số liên tục và những dạng toán liên quan.

Bạn đang xem: Cách xét tính liên tục của hàm số

1. Cầm tắt triết lý hàm số liên tục

1.1. Hàm số liên tiếp tại một điểm

Cho hàm số $y = f(x)$ xác định trên khoảng tầm ((a;b)) cùng (x_0) ở trong ( (a;b) ). Hàm số (f(x)) thường xuyên tại ( x_0 ) khi và chỉ còn khi $$undersetx o x_0mathoplim ,f(x)=f(x_0)$$

Hàm số không thường xuyên tại ( x_0 ) còn hoàn toàn có thể gọi là hàm số cách quãng tại ( x_0 ).

Giả sử các hàm số ( y = f(x), y = g(x) ) liên tục tại điểm ( x_0 ). Khi đó:

Các hàm số ( y = f(x) + g(x), y = f(x) – g(x), y = f(x).g(x) ) liên tiếp tại ( x_0 ).Hàm số $y=dfracf(x)g(x)$ liên tiếp tại ( x_0 ) nếu như ( g(x_0) e 0 ).

1.2. Hàm số liên tiếp trên một khoảng

Hàm số ( y = f(x) ) liên tục trên khoảng ( (a;b) ) khi và chỉ khi nó liên tục tại hầu như điểm thuộc khoảng tầm đó.Nếu hàm số liên tiếp trên khoảng chừng ( (a;b) ) thì trên khoảng chừng đó, đồ dùng thị hàm số là một trong đường nét liền liên tục (không bị đứt).
*

Tại điểm $x_0$ trang bị thị hàm số bị đứt (rời) nên nói theo một cách khác hàm số gián đoạn tại $x_0$


1.3. Hàm số liên tục trên một đoạn

Hàm số ( y = f(x) ) tiếp tục trên đoạn ( ) khi và chỉ còn khi nó tiếp tục trên khoảng chừng ( (a;b) ) và

1.4. Các hàm số thường xuyên thường gặp

Hàm số đa thức thường xuyên trên ( mathbbR ).Hàm số phân thức, căn thức, hàm con số giác liên tục trên từng khoảng khẳng định của chúng.

1.5. Ứng dụng của hàm số liên tục

Nếu hàm số ( y = f(x) ) tiếp tục trên đoạn ( ) với ( f(a). F(b)Nói biện pháp khác, nếu hàm số ( y = f(x) ) liên tục trên đoạn ( ) và ( f(a). F(b)Nếu hàm số liên tiếp ( y = f(x) ) bên trên đoạn ( ). Đặt (m = mathop min limits_left< a;b ight> mkern 1mu f(x)), cùng (M = mathop max limits_left< a;b ight> mkern 1mu f(x)). Khi đó với đa số số ( T ) thuộc khoảng chừng ( (m; M) ) luôn tồn tại ít nhất một trong những ( c ) thuộc khoảng tầm ( (a; b) ) làm thế nào để cho ( f(c) = T ).

2. Các ví dụ với dạng toán về hàm số liên tục

Dạng 1. Xét tính liên tục của hàm số tại một điểm nắm thể

Để xét tính liên tục của hàm số ( y = f(x) ) tại điểm ( x_0 ) ta tiến hành các bước:

Kiểm tra coi hàm số có xác định trên một khoảng chừng chứa ( x_0 ) hay không và tính quý giá ( f(x_0) ).Tính (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) (trong những trường hợp ta bắt buộc tính (mathop lim limits_x o x_0^ + mkern 1mu f(x),mathop lim limits_x o x_0^ – f(x)))So sánh (mathop lim limits_x o x_0 f(x)) cùng với ( f(x_0) ) và kết luận.

Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ tại ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Hàm số xác minh trên (mathbbR setminus 2\) đựng ( x=1 ) cùng ( f(1) = – 3 )Ta đi tính giới hạn hàm số trên ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Thấy ngay ( mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) = – 3 ), buộc phải suy ra hàm số vẫn cho liên tiếp tại ( x_0 = 1 ).

Ví dụ 2. Xét tính liên tiếp của hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 & extnếu ,x e 1\ 2x+5 & extnếu x = 1 endarray ight.$$ trên ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Rõ ràng hàm số xác minh tại ( x=1 ) với ( f(1) = 7 )Ta đi tính số lượng giới hạn hàm số tại ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Do ( mathop lim limits_x o 1 f(x) e f(1) ) đề xuất hàm số vẫn cho đứt quãng tại ( x_0 = 1 ).

Ví dụ 3. Xét tính liên tục của hàm số tại điểm được chỉ ra: $$f(x),, = ,,left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu ,x > 1,,,,,,\ 1& & extnếu ,,x le 1 endarray ight.$$ tại điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn. Khác với lấy ví dụ trước, nghỉ ngơi đây họ cần đi tính số lượng giới hạn trái và số lượng giới hạn phải trên $x=1$.

Hàm số xác định tại ( x=1 ) cùng ( f(1)=1 )Giới hạn trái tại ( x=1 ) < limlimits_x o 1^-f(x)= limlimits_x o 1^-1=1>Giới hạn cần tại ( x=1 ) <eginarray*20lmathop lim limits_x o 1^ + f(x)& = mathop lim limits_x o 1^ + frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2\& = mathop lim limits_x o 1^ + frac5x – 2x – 2\& = – 3endarray>

Ta thấy ( limlimits_x o 1^+f(x) e limlimits_x o 1^-f(x) ) phải suy ra hàm số vẫn cho cách trở tại (x=1).

Ví dụ 4. Xét tính tiếp tục của hàm số 0endarray ight.> tại điểm ( x = 0 ).

Hướng dẫn. Chúng ta đi tính và đối chiếu giá trị, giới hạn trái, số lượng giới hạn phải của hàm số tại điểm ( x = 0).

Hàm số khẳng định tại ( x = 0 ) với ( f(0)=2 ).Giới hạn trái trên ( x = 0 ) là Giới hạn bắt buộc tại ( x = 0 ) là <eginarray*20lmathop lim limits_x o 0^ + f(x)& = mathop lim limits_x o 0^ + dfracsqrt x + 4 – 2x\& = mathop lim limits_x o 0^ + dfracsqrt x + 4 – 2left( sqrt x + 4 ight)^2 – 4\& = mathop lim limits_x o 0^ + dfrac1sqrt x + 4 + 2\& = frac14endarray>

Chúng ta thấy, ( limlimits_x o 0^+f(x)=limlimits_x o 0^-f(x) ) tuy nhiên lại không giống (f(0)) bắt buộc suy ra hàm số không liên tiếp tại điểm ( x = 0 ).

Dạng 2. Xét tính liên tục, minh chứng hàm số liên tiếp trên một khoảng tầm đoạn hoặc tập xác định

Ví dụ 1. Xét tính tiếp tục của hàm số bên trên (R).

Hướng dẫn. cụ thể khi (x e0) thì hàm số đã cho rằng hàm phân thức và hoàn toàn xác định cần nó thường xuyên trên từng khoảng chừng ( (-infty;0) ) với ( (0;+infty) ).

Chú ý ko được nói hàm số vẫn cho thường xuyên trên (( – infty ;0) cup (0; + infty )).

Do đó, họ chỉ bắt buộc xét tính thường xuyên của hàm số tại (x=0). Bọn họ có:

Giá trị của hàm số trên (x=0) là ( f(0)=5 ).Giới hạn của hàm số trên (x=0) là <eginarray*20lmathop lim limits_x o 0 f(x)& = mathop lim limits_x o 0 dfracx^2 + 5xx\& = mathop lim limits_x o 0 left( x + 5 ight) = 5endarray>

Ta thấy (mathop lim limits_x o 0 f(x) = f(0)) phải hàm số vẫn cho liên tục tại (x=0). Cầm lại, hàm số sẽ cho liên tiếp trên tổng thể tập (R).

Ví dụ 2. Xét tính liên tiếp của hàm số bên trên tập xác định.

Hướng dẫn. Chúng ta tất cả ngay tập khẳng định của hàm số là (R).

Tập xác minh của hàm số là tập mà lại tại các điểm (x) của tập đó, hàm số hoàn toàn có thể tính giá tốt trị (f(x)) tương ứng.

Khi ( xKhi ( x>0 ) thì ( f(x)=sqrtx ) cũng là hàm số liên tục.

Do đó, bọn họ chỉ xét tính thường xuyên của hàm số tại điểm ( x=0 ) nữa là hoàn toàn có thể kết luận. Trên ( x=0 ) thì <eginarraylmathop lim limits_x o 0^ + f(x) = mathop lim limits_x o 0^ + sqrt x = 0\f(0) = 0\mathop lim limits_x o 0^ – f(x) = mathop lim limits_x o 0^ – left( 2x – 1 ight) = – 1endarray> rõ ràng (mathop lim limits_x o 0^ + f(x) = f(0) e mathop lim limits_x o 0^ – f(x)) yêu cầu hàm số cách biệt tại ( x=0 ).

Tóm lại, hàm số đã mang đến không liên tiếp trên tập xác định.

Dạng 3. Tìm đk để hàm số tiếp tục tại một điểm

Ví dụ 1. Tìm ( m ) để hàm số $$f(x) = left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2& & extnếu x e 1\ – 3mx – 1& & extnếu x = 1 endarray ight.$$ thường xuyên tại điểm ( x = 1 ).

Hướng dẫn.

Rõ ràng hàm số khẳng định tại ( x=1 ) cùng ( f(1) = – 3m.1 – 1 ).Ta đi tính số lượng giới hạn hàm số tại ( x=1 ) $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x^2 – 3x + 2 = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)left( x – 1 ight)left( x – 2 ight) = mathop lim limits_x o 1 frac5x – 2x – 2 = – 3 $$Hàm số ( f(x) ) tiếp tục tại ( x_0 = 1 ) khi và chỉ còn khi $$ mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1) Leftrightarrow – 3m – 1 = – 3 Leftrightarrow m = – frac23 $$

Vậy giá trị m đề xuất tìm của ( m ) là ( -3 ).

Dạng 4. Tìm điều kiện để hàm số liên tục trên một khoảng chừng đoạn hoặc tập xác định.

Ví dụ. kiếm tìm ( m ) nhằm hàm số sau liên tục trên tập xác minh của nó:$$ f(x),, = ,,left{ eginarrayl dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1& & extnếu,,x e 1,,,,,,\ – 3mx – 1& & extnếu,,x = 1 endarray ight. $$ Hướng dẫn. Tập xác định: ( D = mathbbR ).

Nếu ( x e 1 ), thì hàm số đã chỉ ra rằng ( f(x) = dfrac2 – 7x + 5x^2x – 1 ). Đây là hàm phân thức hữu tỉ gồm tập xác định là ( left( – infty ;1 ight) cup left( 1; + infty ight)) cần nó liên tục trên mỗi khoảng ( left( – infty ;1 ight) ) cùng ( left( 1; + infty ight) )Nếu ( x = 1 ) thì họ có ( f(1) = – 3m – 1 ) cùng <eginarray*20l&\mathop lim limits_x o 1 f(x)& = mathop lim limits_x o 1 frac2 – 7x + 5x^2x – 1\& = mathop lim limits_x o 1 fracleft( x – 1 ight)left( 5x – 2 ight)x – 1\& = mathop lim limits_x o 1 (5x – 2) = 3endarray> Hàm số ( f(x) ) liên tục tại ( x_0 = 1 ) khi và chỉ còn khi <eginarrayl,,,,,,mathop lim limits_x o 1 f(x) = f(1)\Leftrightarrow – 3m – 1 = 3\Leftrightarrow m = – frac43.endarray>

Tóm lại, giá trị đề nghị tìm là ( m = – frac43 ).

Dạng 5. Ứng dụng hàm số liên tục chứng minh phương trình tất cả nghiệm

Ví dụ 1. minh chứng phương trình ( 3x^3 + 2x – 2 = 0 ) gồm nghiệm trong tầm ( left( 0;1 ight) ).

Hướng dẫn.

Xét hàm số ( f(x) = 3x^3 + 2x – 2 ), đấy là hàm nhiều thức nên liên tục trên tập ( R ). Vị đó, ( f(x) ) cũng thường xuyên trên đoạn ( left< 0;1 ight> ).Ta có: $$ f(0)cdot f(1) = ( – 2)cdot (3) = – 6

Suy ra tồn tại ít nhất một số trong những ( c ) trong vòng ( (0;1) ) sao để cho ( f(c) = 0 ), tức thị phương trình ( f(x)=0 ) có ít nhất một nghiệm thuộc khoảng chừng ( left( 0;1 ight) ).

Ví dụ 2. Chứng minh phương trình ( 2x^3 – 6x^2 + 5 = 0 ) có cha nghiệm trong tầm ( left( – 1;3 ight) ).

Hướng dẫn.

Hàm số ( f(x) = 2x^3 – 6x^2 + 5 ) tiếp tục trên ( R ) yêu cầu suy ra ( f(x) ) liên tiếp trên những đoạn ( <-1;0> , <0;2>) và ( <2;3> ).Ta có: ( f( – 1) = – 3 , f(0) = 5, f(2) = – 3 , f(3) = 5 ). Suy ra <eginarraylf( – 1)cdot f(0) f(0)cdot f(2) f(2)cdot f(3) endarray> vày đó, phương trình vẫn cho gồm nghiệm trong những khoảng ( left( – 1;0 ight) ), ( left( 0;2 ight) ) cùng ( left( 2;3 ight) ).

Kết luận, phương trìn có ba nghiệm trong tầm ( left( – 1;3 ight) ).

Ví dụ 3. chứng tỏ rằng phương trình ( ax^2 + bx + c = 0 ) luôn luôn có nghiệm trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ) với mọi ( a e 0 ) và ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

Hướng dẫn. Hàm số ( f(x) = ax^2 + bx + c ) liên tiếp trên ( mathbbR ) đề xuất cũng liên tiếp trên đoạn ( left< 0;frac13 ight> ).

Ta bao gồm $$ f(0) = c, f(frac13) = frac19(a + 3b + 9c) $$ Suy ra $f(0) + 18f(frac13) = 2a + 6b + 19c = 0 $ nên $$ f(0) =-18f(frac13) $$ Như vậy, họ thấy

Nếu ( f(0) = f(frac13) = 0 ) thì phương trình tất cả nghiệm đó là ( 0 ) và ( frac13 ) ở trong đoạn ( left< 0;frac13 ight> ).Nếu ( f(0) =-18 f(frac13) e 0 ) thì ( f(0)cdot f(frac13) =-left(f(0) ight)^2

Tóm lại, phương trình đã cho luôn có nghiệm trong khúc ( left< 0;frac13 ight> ) với mọi ( a e 0 ) với ( 2a + 6b + 19c = 0 ).

3. Bài tập hàm số liên tục

Bài 1. Xét tính thường xuyên của hàm số tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx+3x-1& ext lúc ,,x e 1 \& -1& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=-1$b) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracsqrtx+3-2x-1,,,& ext lúc ,x e 1,,,,,, \& frac14& ext khi ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x) = left{ eginarray*20cdfrac2 – 7x + 5x^2 – x^3x^2 – 3x + 2& mkhi mkern 1mu x e 2mkern 1mu \1& extkhi x = 2endarray ight. $tại $x=2$d) $f(x),=,left{ eginalign& fracx-5sqrt2x-1-3,,& ext khi ,,x>5 \& (x-5)^2+3,,,,,& ext lúc ,xle ,,5 \endalign ight.$tại $x=5$e) $f(x),,=,,left{ eginalign& 1-cos x& ext khi ,xle 0 \& sqrtx+1& ext lúc ,,x>0 \endalign ight.$tại $x=0$f) $f(x)=left{ eginalign& fracx-1sqrt2-x-1& ext lúc ,,x& -2x& ext lúc ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$

Bài 2. Tìm $m, n$ để hàm số liên tục tại điểm được chỉ ra:

a) $f(x)=left{ eginalign& x^2& ext khi ,,x& 2mx-3& ext khi ,,xge 1 \endalign ight.$tại $x=1$b) $f(x)=left{ eginalign& fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \& 3x+m& ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$tại $x=1$c) $f(x)=left{ eginalign& m& ext khi ,,x=0 \& fracx^2-x-6x(x-3)& ext khi ,,x e 0,x e 3 \& n& ext khi ,,x=3 \endalign ight.$tại $x=0$ cùng $x=3$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext lúc ,,x e 2 \& m& ext lúc ,,x=2 \endalign ight.$tại $x=2$

Bài 3. Xét tính liên tục của các hàm số sau bên trên tập khẳng định của chúng:

a) $f(x),,=,,left{ eginalign& fracx^3+x+2x^3+1& ext khi ,,x e -1 \& frac43& ext khi ,,x=-1 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign& x^2-3x+4& ext lúc ,,x& 5& ext khi ,,x=2 \& 2x+1& ext lúc ,,x>2 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-4x+2& ext lúc ,,x e -2 \& -4& ext khi ,,x=-2 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-2x-sqrt2& ext khi ,,x e sqrt2 \& 2sqrt2& ext lúc ,,x=sqrt2 \endalign ight.$

Bài 4. Tìm các giá trị của thông số (m) để các hàm số sau liên tiếp trên tập xác định của chúng:

a) $f(x)=left{ eginalign& fracx^2-x-2x-2& ext lúc ,,x e 2 \& m& ext khi ,,x=2 \endalign ight.$b) $f(x)=left{ eginalign&x^2+x& ext lúc ,,x&2& ext khi ,,x=1 \&mx+1& ext lúc ,,x>1 \endalign ight.$c) $f(x)=left{ eginalign&fracx^3-x^2+2x-2x-1& ext khi ,,x e 1 \&3x+m & ext lúc ,,x=1 \endalign ight.$d) $f(x)=left{ eginalign&x^2& ext lúc ,,x&2mx-3& ext lúc ,,xge 1 \endalign ight.$

Bài 5. Chứng minh rằng các phương trình sau có 3 nghiệm phân biệt:

a) $x^3-3x+1=0$b) $x^3+6x^2+9x+1=0$c) $2x+6sqrt<3>1-x=3$

Bài 6. Chứng minh rằng các phương trình sau luôn luôn có nghiệm:

a) $x^5-3x+3=0$b) $x^5+x-1=0$c) $x^4+x^3-3x^2+x+1=0$

Bài 7. chứng tỏ rằng phương trình: $x^5-5x^3+4x-1=0$ tất cả 5 nghiệm trên khoảng tầm ( (-2; 2) ).

Bài 8.

Xem thêm: Các Dạng Bài Tập Phương Trình Lượng Giác Chọn Lọc, Có Lời Giải

minh chứng rằng các phương trình sau luôn có nghiệm với tất cả giá trị của tham số:

a) $m(x-1)^3(x-2)+2x-3=0$b) $x^4+mx^2-2mx-2=0$c) $a(x-b)(x-c)+b(x-c)(x-a)+c(x-a)(x-b)=0$d) $(1-m^2)(x+1)^3+x^2-x-3=0$e) $cos x+mcos 2x=0$f) $m(2cos x-sqrt2)=2sin 5x+1$

Bài 9. Chứng minh những phương trình sau luôn có nghiệm:

a) $ax^2+bx+c=0$ cùng với $2a + 3b + 6c = 0$b) $ax^2+bx+c=0$ cùng với ( a + 2b + 5c = 0 )c) $x^3+ax^2+bx+c=0$

Bài 10. Chứng minh rằng phương trình: $ax^2+bx+c=0$ luôn có nghiệm ( x ) thuộc $left< 0;frac13 ight>$ cùng với ( a e 0 ) cùng ( 2a + 6b + 19c = 0 ).