Tài liệu phía dẫn phương pháp tính góc giữa hai phương diện phẳng giảm nhau trong không gian, đấy là một nội dung rất quan trọng trong chương trình Hình học 11 chương 3. Kỹ năng và kiến thức và những ví dụ minh họa trong bài viết được tham khảo từ các tài liệu hình học không khí được chia sẻ trên leveehandbook.net.

Bạn đang xem: Cách tính góc giữa hai mặt phẳng

Bài toán: mang lại hai phương diện phẳng $(α)$ và $(β)$ cắt nhau, tính góc giữa hai khía cạnh phẳng $(α)$ với $(β).$

Ta áp dụng một trong các các cách thức sau đây:

Phương pháp 1Dựng hai tuyến phố thẳng $a$, $b$ lần lượt vuông góc với hai mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight)$. Khi đó, góc thân hai phương diện phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight)$ là $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = left( widehat a,b ight).$ Tính góc $left( widehat a,b ight).$

Phương pháp 2+ xác định giao tuyến $c$ của nhì mặt phẳng $left( alpha ight)$ và $left( eta ight).$+ Dựng hai đường thẳng $a$, $b$ lần lượt phía bên trong hai phương diện phẳng và thuộc vuông góc cùng với giao con đường $c$ tại một điểm bên trên $c.$ Khi đó: $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = left( widehat a,b ight).$

*

Hiểu giải pháp khác: Ta xác định mặt phẳng phụ $left( gamma ight)$ vuông góc cùng với giao tuyến $c$ mà $left( alpha ight) cap left( gamma ight) = a$, $left( eta ight) cap left( gamma ight) = b.$ Suy ra $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = left( widehat a,b ight).$

Phương pháp 3 (trường hợp sệt biệt)

*

Nếu tất cả một đoạn thẳng nối nhì điểm $A$, $B$ $left( A in left( alpha ight), B in left( eta ight) ight)$ mà $AB ot left( eta ight)$ thì qua $A$ hoặc $B$ ta dựng mặt đường thẳng vuông góc với giao tuyến $c$ của hai mặt phẳng tại $H.$ Khi đó $left( widehat left( alpha ight),left( eta ight) ight) = widehat AHB.$

Ví dụ 1. Cho hình chóp tứ giác đều $S.ABCD$ cạnh đáy $ABCD$ bằng $a$ và $SA = SB = SC = SD = a.$ Tính $cosin$ góc giữa hai khía cạnh phẳng $left( SAB ight)$ và $left( SAD ight).$

*

Gọi $I$ là trung điểm $SA.$ Do tam giác $SAD$ và $SAB$ đều nên:$left{ eginarraylBI ot SA\DI ot SAendarray ight.$ $ Rightarrow left( widehat left( SAB ight),left( SAD ight) ight) = left( widehat BI,DI ight).$Áp dụng định lý $cosin$ mang đến tam giác $BID$ ta có:$cos widehat BID = fracIB^2 + ID^2 – BD^22IB.ID$ $ = fracleft( fracsqrt 3 2a ight)^2 + left( fracsqrt 3 2a ight)^2 – left( asqrt 2 ight)^22.fracsqrt 3 2a.fracsqrt 3 2a$ $ = – frac13.$Vậy $cos left( widehat left( SAB ight),left( SAD ight) ight) = frac13.$

Ví dụ 2. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác đầy đủ nội tiếp mặt đường tròn đường kính $AB = 2a$, $SA$ vuông góc với $left( ABCD ight)$ và $SA = asqrt 3 .$ Tính góc giữa hai phương diện phẳng $left( SBC ight)$ và $left( SCD ight).$

*

Vì $ABCD$ là nửa lục giác rất nhiều nên $AD = DC = CB = a.$Dựng mặt đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $left( SCD ight).$Trong phương diện phẳng $left( ABCD ight)$ dựng $AH ot CD$ tại $H$ $ Rightarrow CD ot left( SAH ight).$Trong mặt phẳng $left( SAH ight)$ dựng $AP ot SH$ $ Rightarrow CD ot AP$ $ Rightarrow AP ot left( SCD ight).$Dựng con đường thẳng đi qua $A$ và vuông góc với $left( SBC ight).$Trong phương diện phẳng $left( SAC ight)$ dựng $AQ ot SC.$Lại tất cả $AQ ot BC$ vì $left{ eginarraylBC ot AC\BC ot SAendarray ight.$ $ Rightarrow BC ot left( SAC ight)$ $ Rightarrow BC ot AQ.$Vậy $AQ ot left( SBC ight).$

Suy ra góc thân hai mặt phẳng $left( SBC ight)$ và $left( SCD ight)$ là góc giữa hai tuyến đường thẳng lần lượt vuông góc với nhì mặt phẳng ấy là $AP$ và $AQ.$Ta tính góc $widehat PAQ$, có $AH = sqrt AD^2 – HD^2 $ $ = sqrt a^2 – fraca^24 = fracasqrt 3 2.$$ Rightarrow frac1AP^2 = frac1AS^2 + frac1AH^2$ $ Rightarrow AP = fracasqrt 3 sqrt 5 .$Tam giác $SAC$ vuông cân nặng tại $A$ $ Rightarrow AQ = fracSC2 = fracasqrt 6 2.$$Delta APQ$ vuông tại $P$ $ Rightarrow cos widehat PAQ = fracAPAQ = fracsqrt 10 5$ $ Rightarrow widehat PAQ$ $ = arccos fracsqrt 10 5.$

Ví dụ 3. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân với $BA = BC = a$, $SA ot left( ABC ight)$, $SA = a.$ Gọi $E, F$ lần lượt là trung điểm của những cạnh $AB, AC.$ Tính $cosin$ góc thân hai khía cạnh phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight).$

*
Nhận xét: Giao tuyến của hai mặt phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ là con đường thẳng $St$ đi qua $S$ và song song với $EF$ và $BC$ nên ta xác minh hai mặt đường thẳng qua $S$ và lần lượt bên trong hai phương diện phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ và thuộc vuông góc với $St$ (ta đi chứng tỏ hai con đường thẳng kia là $SE$ và $SB$).

Vì $left{ eginarraylEF subset left( SEF ight)\BC subset left( SBC ight)\EF m// BCendarray ight. $ $⇒$ giao đường của $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ là con đường thẳng qua $S$, song tuy vậy với $BC$, là $St.$

Ta bao gồm $left{ eginarraylBC ot AB\BC ot SAleft( vì SA ot left( ABC ight) ight)endarray ight. $ $ Rightarrow BC ot left( SAB ight)$ $ Rightarrow BC ot SB$ hay $St ot SB.$Tương tự $EF ot left( SAE ight)$ $ Rightarrow EF ot SE$ mà $EF m// St$ $ Rightarrow St ot SE.$Vậy $SB$ và $SE$ cùng đi qua $S$ và cùng vuông góc với $St$ nên góc giữa hai mặt phẳng $left( SEF ight)$ và $left( SBC ight)$ bằng góc giữa hai tuyến đường thẳng $SB$ và $SE.$Ta tính góc $widehat BSE.$Có $SE = sqrt SA^2 + AE^2 = fracasqrt 5 2$; $SB = sqrt SA^2 + AB^2 = asqrt 2 $; $BE = fraca2.$Theo định lí $cosin$ ta có: $cos widehat BSE = fracSE^2 + SB^2 – BE^22.SE.SB$ $ = frac3sqrt 10 $ $ Rightarrow widehat BSE = arccos frac3sqrt 10 .$

Ví dụ 4. Cho hình chóp $S.ABC$ có đáy $ABC$ là tam giác vuông cân tại $B$, $SA = a$ và $SA ot left( ABC ight)$, $AB = BC = a.$ Tính góc giữa hai phương diện phẳng $left( SAC ight)$ và $left( SBC ight).$

*
Nhận xét: Ta áp dụng phương pháp 3 (trường hợp đặc biệt).

Ta có $left( SAC ight) cap left( SBC ight) = SC.$Gọi $F$ là trung điểm $AC$ $ Rightarrow BF ot left( SAC ight).$Dựng $BK ot SC$ tại $K$ $ Rightarrow SC ot left( BKF ight)$ $ Rightarrow widehat left( left( SAC ight),left( SBC ight) ight)$ $ = widehat left( KB,KF ight) = widehat BKF.$$Delta CFK sim Delta CSA Rightarrow fracFKFC = fracSASC$ $ Rightarrow FK = fracFC.SASC$ $ = fracfracasqrt 2 2.aasqrt 3 = fracasqrt 6 .$$Delta BFK$ vuông tại $F$ $ Rightarrow an widehat BKF = fracFBFK$ $ = fracfracasqrt 2 2fracasqrt 6 = sqrt 3 $ $ Rightarrow widehat BKF = 60^circ $ $ = widehat left( left( SAC ight),left( SBC ight) ight).$

Ví dụ 5. Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là nửa lục giác phần lớn nội tiếp con đường tròn đường kính $AB = 2a$, $SA$ vuông góc với $left( ABCD ight)$ và $SA = asqrt 3 .$ Tính $tan$ của góc giữa hai mặt phẳng $left( SAD ight)$ và $left( SBC ight).$

*
Gọi $I = AD cap BC$, $ABCD$ là nửa lục giác phần lớn nên $AD = DC = CB = a$, $AI = IB = a.$$left( SAD ight) cap left( SBC ight) = SI$ $ Rightarrow left{ eginarraylBD ot SA\BD ot ADendarray ight.$ $ Rightarrow BD ot left( SAD ight) Rightarrow BD ot SI.$Vì vậy theo trường hợp đặc biệt ta chỉ việc dựng $DE ot SI$ với $E in SI.$Khi đó, $SI ot left( BED ight)$ $ Rightarrow left( widehat left( SAD ight),left( SSBC ight) ight) = left( widehat EB,ED ight)$ $ = widehat BED$ (Vì $Delta BED$ vuông trên $D$).$Delta AIB$ đều nên $BD = asqrt 3 .$$SI = sqrt SA^2 + AI^2 = asqrt 7 .$Hai tam giác vuông $SAI$ và $DEI$ đồng dạng nên: $fracDESA = fracDISI Rightarrow DE = fracasqrt 3 sqrt 7 .$$Delta BDE$ vuông tại $D$ $ Rightarrow an widehat BED = fracBDDE = sqrt 7 .$

Ví dụ 6. Cho tam giác $ABC$ vuông cân nặng tại $A$ có $AB = a$, trên mặt đường thẳng $d$ vuông góc với $left( ABC ight)$ tại điểm $A$ ta mang một điểm $D.$ Tính góc thân hai phương diện phẳng $left( ABC ight)$ và $left( DBC ight)$, trong trường hợp $left( DBC ight)$ là tam giác đều.

*
Gọi $varphi $ là góc thân hai phương diện phẳng $left( ABC ight)$ và $left( DBC ight).$Theo công thức diện tích hình chiếu của đa giác, ta có: $S_Delta ABC = S_Delta DBC.cosvarphi .$Mà: $S_ΔDBC = frac12DB.DC.sin 60^0$ $ = frac12asqrt 2 .asqrt 2 .fracsqrt 3 2 = fraca^2sqrt 3 2.$Mặt khác: $S_ΔABC = frac12AB.AC = frac12a^2.$$ Rightarrow cos varphi = fracS_ΔABCS_ΔDBC = fracsqrt 3 3$ $ Rightarrow varphi = arccos fracsqrt 3 3.$

Ví dụ 7.

Xem thêm: Cách Xác Định Góc Giữa 2 Mặt Phẳng Trong Không Gian, Góc Giữa Hai Mặt Phẳng

 Cho lăng trụ đứng $OAB.O’A’B’$ có các đáy là các tam giác vuông cân $OA = OB = a, AA’ = asqrt 2 .$ Gọi $M, P$ lần lượt là trung điểm các cạnh $OA, AA’.$ Tính diện tích thiết diện khi giảm lăng trụ bởi $left( B’MP ight).$

*
Gọi $R$ là giao điểm của $MP$ và $OO’$, $Q$ là giao điểm của $B’R$ với $OB.$Thiết diện là tứ giác $MPB’Q$, ta có: $fracOQO’B’ = fracRORO’ = frac13$ $ Rightarrow OQ = fraca3.$Tứ giác $AMQB$ là hình chiếu vuông góc của tứ giác $PMQB’$ trên phương diện phẳng $left( OAB ight)$ nên: $S_PMQB’ = fracS_AMQBcos varphi .$Với $varphi $ là góc tạo vì chưng hai khía cạnh phẳng $left( OAB ight)$ và $left( MPB’Q ight).$Ta có: $S_AMQB = S_OAB – S_OMQ$ $ = frac12a^2 – frac112a^2 = frac512a^2.$Hạ $OH ot MQ$, ta có: $left{ eginarraylMQ ot OH\MQ ot ORendarray ight. Rightarrow MQ ot left( OHR ight).$Vậy: $varphi = widehat OHR$ ($widehat OHR$ nhọn).Ta có: $cos varphi = coswidehat OHR = fracOHRH$ $ = fracOHsqrt OH^2 + OR^2 $ $ = fracfracasqrt 13 sqrt fraca^213 + fraca^22 = fracsqrt 2 sqrt 15 .$Vậy: $S_PMQB’ = frac5a^2sqrt 15 12sqrt 2 .$

Ví dụ 8. đến lăng trụ đứng $ABC.A’B’C’$ có đáy $ABC$ là một tam giác cân nặng với $AB = AC = a,widehat BAC = 120^0,$ cạnh bên $BB’ = a.$ Gọi $I$ là trung điểm $CC’.$ Chứng minh rằng tam giác $AB’I$ vuông sống $A$. Tính $cosin$ của góc giữa hai mặt phẳng $left( ABC ight)$ và $left( AB’I ight).$

*
Áp dụng định lý $cosin$ mang lại $Delta ABC$ ta có: $BC^2 = a^2 + a^2 – 2a^2 mcos120^0$ $ = 3a^2.$Áp dụng định lý Py-ta-go cho những tam giác:$Delta B’BA$: $B"A^2 = 2a^2.$$Delta ICA$: $AI^2 = a^2 + left( frac12 ight)^2 = frac5a^24.$$Delta B’C’I$: $B"I^2 = 3a^2 + fraca^24 = frac13a^24.$Ta có: $B"A^2 + AI^2 = 2a^2 + frac5a^24$ $ = frac13a^24 = B"I^2 Rightarrow Delta AB’I$ vuông nghỉ ngơi $A.$Ta có: $S_Delta AB’I = frac12AI.AB’$ $ = frac12.fracasqrt 5 2.asqrt 2 = fraca^2sqrt 10 4.$$S_Delta ABC = frac12a^2sin 120^0 = fraca^2sqrt 3 4.$Gọi $varphi $ là góc giữa hai mặt phẳng $left( ABC ight)$ và $left( AB’I ight).$ khi đó:$cosvarphi = fracS_Delta ABCS_Delta ABI’$ $ = fracfraca^2sqrt 3 4fraca^2sqrt 10 4 = fracsqrt 3 sqrt 10 = fracsqrt 30 10.$