Công thức, phương pháp tính Đạo hàm theo tư tưởng và mối liên hệ giữa đạo hàm và tính tiếp tục - Toán lớp 11

Đạo hàm là nội dung quan trọng vì nó lộ diện trong nhiều dạng toán giải tích ở chương trình toán phổ thông. Do vậy, nắm rõ khái niệm về đạo hàm để giúp đỡ các em dễ dàng tiếp thu các bài học sau này.

Bạn đang xem: Cách tính đạo hàm bằng định nghĩa


Trong bài này chúng ta cùng tìm hiểu về đạo hàm, bí quyết và cách tính đạo hàm theo định nghĩa, mối liên hệ giữa đạo hàm cùng tính thường xuyên của hàm số. Đồng thời vận dụng giải một trong những dạng bài xích tập như viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm, tuyệt viết phương trình tiếp tuyến đường biết hệ số góc k,... để làm rõ hơn.

I. Cầm tắt kim chỉ nan về đạo hàm

1. Định nghĩa đạo hàm trên một điểm

Định nghĩa: mang đến hàm số  xác định trên khoảng chừng (a;b) cùng x0 ∈ (a;b), nếu tồn tại số lượng giới hạn (hữu hạn):

 

*

thì giới hạn này được gọi là đạo hàm của hàm số  tại điểm x0 và ký hiệu là f"(x0) (hoặc y"(x0)), tức là:

 

*

* Chú ý:

 Đại lượng Δx = x - x0 được gọi là số gia của đối số trên x0.

 Đại lượng Δy = f(x) - f(x0) = f(x0 + Δx) - f(x0) được call là số gia tương ứng của hàm số, khi đó:

*

• Hàm số y = f(x) được gọi là bao gồm đạo hàm trên khoảng M nếu nó tất cả đạo hàm tại đầy đủ điểm x0 ∈ K.

2. Mối tương tác giữa đạo hàm cùng tính liên tục

• Hàm số y = f(x) tất cả đạo hàm tại x0 ⇒ f(x) tiếp tục tại x0

3. Công thức, phương pháp tính đạo hàm theo định nghĩa

Để tính đạo hàm theo định nghĩa triển khai như sau:

- cách 1: Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) với Δx là số gia của đối số trên x0

- bước 2: lập tỉ số 

- cách 3: Tìm 

II. Những dạng bài xích tập tính đạo hàm theo định nghĩa

° Dạng 1: Tính đạo hàm theo định nghĩa

* Phương pháp:

- cách 1: Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(x) - f(x0)

- cách 2: lập tỉ số 

- bước 3: Tính 

- Khi nắm x0 bằng x, ta tính được đạo hàm của hàm số f(x) trên điểm x ∈ (a;b).

* lấy ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): Tính (bằng định nghĩa) đạo hàm của từng hàm số tại các điểm đã chỉ ra:

a) y = x2 + x trên x0 = 1

b) 

*
 tại x0 = 2

c) 

*
 tại x0 = 0

° giải mã ví dụ (Bài 3 trang 156 SGK Đại số 11): 

a) Ta có:

 Δx = x - x0 = x - 1 ⇔ x = Δx + 1

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(1 + Δx) - f(1)

- khía cạnh khác:

 f(1 + Δx) = (1 + Δx)2 + (1 + Δx)

 f(1) = (12 + 1) = 2

- Nên Δy = (1 + Δx)2 + (1 + Δx) - 2

 = 1 + 2Δx + (Δx)2 + 1 + Δx - 2

 = Δx(Δx+3)

*

*

- Vậy f"(1) = 3.

b) Ta có:

 Δx = x - x0 = x - 2 ⇔ x = Δx + 2

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(2 + Δx) - f(2)

- phương diện khác:

 

*
 ; 
*

- Nên 

*

 

*

*
 
*

- Vậy

*

c) Ta có:

 Δx = x - 0 = x ⇔ x = Δx

 Δy = f(x0 + Δx) - f(x0) = f(Δx) - f(0)

 

*
 
*

*

*
 
*

- Vậy f"(0) = -2.

° Dạng 2: liên hệ giữa đạo hàm cùng tính tiếp tục của hàm số

* Phương pháp:

1> Hàm số có đạo hàm tại điểm x0 thì liên tiếp tại đặc điểm đó (điều trái lại không đúng).

2> Để triệu chứng mình hàm số không có đạo hàm tại điểm x0 ta tiến hành như sau:

- triệu chứng minh 

*
 không tồn tại.

- Hoặc chứng tỏ hàm số không liên tiếp tại x0.

* lấy một ví dụ 1 (Bài 4 trang 156 SGK Đại số 11): Chứng minh rằng hàm số:

 

*
 
*

 

*

*

⇒ Hàm số y = f(x) ngăn cách tại x = 0

⇒ Hàm số không có đạo hàm trên điểm x = 0.

• Xét tại điểm x = 2:

 

*

 

*
 
*

⇒ Hàm số y = f(x) có đạo hàm tại x = 2 với f"(2) = 2.

* lấy ví dụ như 2: Cho hàm số 

*

 

*

*
 nên hàm số liên tiếp tại x = 0.

Chứng minh hàm số không tồn tại đạo hàm trên x = 0.

 

*
 
*

 

*
 
*

*

 Nên không tồn tại 

*
, vậy hàm số không có đạo hàm tại x = 0.

* ví dụ như 3: Cho hàm số: 

*
 
*

*

*
(*)

- Mặt khác ta có:

*

 

*
 
*

*

  (do cầm cố a+b=1 vào)

- do vậy để hàm f(x) gồm đạo hàm thì:

*
 (**)

- từ bỏ (*) với (**) ta có: 

*

° Dạng 3: Viết phương trình tiếp tuyến ở một điểm M0(x0;f(x0)) ∈ (C).

* Phương pháp:

1) Tính  

 hoặc 

*

2) hệ số góc của tiếp con đường với đồ dùng thị (C) trên M0 là k = f"(x0).

3) Phương trình tiếp con đường với đồ dùng thị (C) trên điểm M0 là:

 y=f"(x0)(x - x0) + f(x0).

* lấy ví dụ như 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến phố cong y=x3.

a) trên điểm (-1; -1);

b) trên điểm tất cả hoành độ bởi 2; 

° giải thuật ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

 

*
 
*

 

*

*

a) Tiếp tuyến đường của y = x3 tại điểm (-1; -1) gồm dạng:

 y = y’(-1)(x + 1) + y(1)

- cơ mà y"(1) = 3.(-1)2 = 3; y(1) = -1 nên:

 y = 3(x + 1) – 1 =3x + 2

b) tại điểm bao gồm hoành độ x0 = 2; 

⇒ y0 = f(x0) = f(2) = 23 = 8;

⇒ f’(x0) = f’(2) = 3.22 = 12.

- Vậy phương trình tiếp con đường của y = x3 tại điểm gồm hoành độ bởi 2 là:

 y = 12(x – 2) + 8 = 12x – 16.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.

a) tại điểm (1/2; 2);

b) trên điểm tất cả hoành độ bởi -1;

° lời giải ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Ta có:

 

*
 
*

*

a) Ta có: 

*

- yêu cầu phương trình tiếp tuyến đường của con đường công trên điểm (1/2;2) là:

 

*

b) b) tại điểm bao gồm hoành độ x0 = -1;

⇒ y0 = -1 ⇒ f’(x0) = -1.

- Vậy phương trình tiếp con đường của đường cong y = 1/x tại điểm tất cả hoành độ -1 là:

 y = -1(x + 1) – 1 = -x – 2.

° Dạng 4: Viết phương trình tiếp tuyến với thiết bị thị (C) khi biết hệ số góc k

* Phương pháp:

1) Gọi điểm M0(x0; y0) ∈ (C) là tiếp điểm của tiếp tuyến đường với đồ gia dụng thị (C)

2) Tính 

3) Giải phương trình k = f"(x0) tìm kiếm x0 rồi tra cứu được y0 = f(x0).

4) Phương trình tiếp con đường với đồ dùng thị (C) có hệ số góc k có dạng:

 y = k(x - x0) + y0

* Chú ý:

- Nếu hai đường thẳng tuy nhiên song với nhau thì bao gồm cùng hệ số góc k.

- Nếu hai đường thẳng vuông góc cùng nhau thì tích của hai thông số góc k1, k2 bởi -1 (tức là k1.k2 = -1).

* ví dụ như 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường cong y=x3.

c) Biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng 3.

° lời giải ví dụ 1 (Bài 5 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 3.

- Ta có: f’(x0) = 3 ⇔ 3x02 = 3 ⇔ x02 = 1 ⇔ x0 = ±1.

- với x0 = 1 ⇒ y0 = 13 = 1

 ⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x – 1) + 1 = 3x – 2.

- Với x0 = -1 ⇒ y0 = (-1)3 = -1

⇒ Phương trình tiếp tuyến: y = 3.(x + 1) – 1 = 3x + 2.

- Vậy gồm hai phương trình tiếp tuyến của con đường cong y = x3 có hệ số góc bởi 3 là:

 y = 3x – 2 với y = 3x + 2.

* Ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11): Viết phương trình tiếp tuyến đường hypebol y = 1/x.

c) Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến bởi -1/4.

Xem thêm: Bài Tập Tổ Hợp Xác Suất Có Lời Giải, Trắc Nghiệm Toán 11 Chương 2: Tổ Hợp

° giải thuật ví dụ 2 (Bài 6 trang 156 SGK Đại số 11):

• Biết rằng hệ số góc của tiếp tuyến k=-1/4.

- Ta có: 

 

*
 
*

- Với 

*
 nên phương trình tiếp tuyến đường là:

 

*

- Với 

*
 nên phương trình tiếp đường là:

 

*

- Vậy bao gồm hai phương trình tiếp đường của hypebol y=1/x có thông số góc bằng -1/4 là: