Hệ phương trình phong cách là một dạng hệ phương trình thường chạm chán trong lịch trình Toán 9 cùng Toán 10. Vậy hệ phương trình phong cách là gì? có mang về hệ phương trình sang trọng bậc 2? giải pháp giải hệ phương trình đẳng cấp?…. Vào nội dung nội dung bài viết dưới đây, leveehandbook.net sẽ giúp bạn tổng hợp kiến thức về chủ thể này nhé!




Bạn đang xem: Cách giải phương trình đẳng cấp

Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là gì?

Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng là hệ gồm ( 2 ) phương trình ( 2 ) ẩn cơ mà ở mỗi phương trình thì bậc của từng ẩn là bẳng nhau :


(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) với ( f,g ) là các hàm số có bậc của hai biến hóa ( x;y ) bằng nhau

Ví dụ:

(left{eginmatrix x^2+3xy-2y^2=3\ x^2-xy+y^2=4 endmatrix ight.)

Ở ví dụ trên thì đó là hệ phương trình phong cách bậc ( 2 )

*

Cách giải hệ phương trình đẳng cấp

Bài toán: Giải phương trình

(left{eginmatrix f(x;y)=a_1\ g(x;y)=a_2 endmatrix ight.) với ( f,g ) là những hàm số tất cả bậc của hai biến ( x;y ) bởi nhau

Nhìn chung để giải phương trình đẳng cấp và sang trọng thì họ tiến hành các bước sau đây:

Bước 1: Nhân phương trình bên trên với ( a_2 ) cùng phương trình dưới với ( a_1 ) rồi trừ nhì phương trình để gia công mất hệ số tự doBước 2: Đặt ( x=ky ). Cố vào phương trình ở cách 1 ta được phương trình tất cả dạng :( y^n(Ak^2+Bk+C) =0 )Bước 3: Giải phương trình trên bằng cách chia hai trường phù hợp (left<eginarrayl y=0\y eq 0 endarray ight.). Với trường hòa hợp ( y eq 0 ) thì giải ra ( k )Bước 4: nỗ lực ( x=ky ) vào trong 1 trong hai phương trình, giải ra ( y ) rồi từ kia giải ra ( x )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ x^2-2xy+y^2=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

Phương trình đang cho tương tự với :

(left{eginmatrix x^2-y^2=3\ 3x^2-6xy+3y^2=3 endmatrix ight.)

Trừ nhị vế hai phương trình ta được :

( 2x^2+4y^2-6xy =0 )

Đặt ( x=ky ). Nuốm vào phương trình bên trên ta được :

( 2k^2y^2+4y^2-6ky^2=0 )

(Leftrightarrow 2y^2(k^2-3k+2)=0 ;;;;; (1) )

Trường hợp ( y=0 )

Thay vào hệ ta được:

(left{eginmatrix x^2=3\ x^2=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Trường phù hợp ( y eq 0 )

Từ phương trình ( (1) Rightarrow k^2+3k-2 =0 )

 (Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\ k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) nỗ lực vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 0=3\0=1 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Nếu ( k=2 ) cố vào hệ phương trình ta được :

(left{eginmatrix 3y^2=3\y^2=1 endmatrix ight. Leftrightarrow y^2=1 Leftrightarrow y=pm 1)

Vậy hệ phương trình đang cho gồm hai cặp nghiệm là ( (x;y) =(2;1) ; (-2;-1) )

Giải hệ phương trình phong cách bậc 2 

Hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc ( 2 ) là hệ phương trình tất cả dạng :

(left{eginmatrix a_1x^2+b_1xy+c_1y^2=d_1\ a_2x^2+b_2xy+c_2y^2=d_2 endmatrix ight.)

Đây là dạng toán thường chạm mặt trong phần hệ phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 9 thi tuyển chọn sinh THPT. Để giải dạng bài bác này thì kế bên cách trên ta rất có thể sử dụng một cách khác ví như sau :

Bước 1: Từ nhị phương trình, nhân hệ số thích hợp để hệ số của ( x^2 ) ở nhì phương trình là bằng nhau:Bước 2: Trừ nhì vế của hai phương trình, ta được phương trình dạng :( Ay^2+Bxy=C )(Rightarrow x=fracC-Ay^2By)Bước 3: Thay vào trong 1 trong nhì phương trình rồi giải tìm ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ x^2+xy-3y^2=3 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình sẽ cho tương tự với :

(left{eginmatrix 2x^2-xy-y^2=8\ 2x^2+2xy-6y^2=6 endmatrix ight.)

Trừ nhì vế nhì phương trình ta được :

( 5y^2-3xy =2 )

Nếu ( y=0 ) chũm vào hệ phương trình đã mang đến ta được:

(left{eginmatrix 2x^2=8\x^2=3 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Nếu ( y eq 0 ) thì ta có:

(x= frac5y^2-23y)

Thay vào phương trình thứ nhất ta được:

(2.(frac5y^2-23y)^2-y.frac5y^2-23y-y^2=8)

(Leftrightarrow 2(25y^4-20y^2+4)-3y^2(5y^2-2)-9y^4=72y^2)

(Leftrightarrow 26y^4 -106y^2+8=0)

(Leftrightarrow 2(y^2-4)(13y^2-1) =0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl y^2=4\y^2=frac113 endarray ight.)

Thay vào ta được : hệ phương trình vẫn cho bao gồm ( 4 ) cặp nghiệm :

((x;y)= (3;2);(-3;-2); (-frac1112197;frac113);(frac1112197;-frac113))

Hệ phương trình phong cách lớp 10 

Trong công tác toán 10 thì câu hỏi hệ phương trình sẽ nâng cấp hơn, đòi hỏi học sinh cần có thêm một vài ba kĩ năng đổi khác để xử lý.

Dạng bài thay đổi hệ phương trình về dạng hệ phương trình đẳng cấp

Trong những việc này, hệ phương trình lúc đầu bài toán chỉ dẫn sẽ không hẳn là đều phương trình đẳng cấp. Nhưng chúng ta sẽ đổi thay đổi, đặt ẩn phụ để lấy hệ vẫn cho biến chuyển hệ phương trình đẳng cấp

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2-y^2+2y=9\ x^2+xy+y^2-x-2y=12 endmatrix ight.)

Cách giải:

Ta sẽ biến đổi để chuyển phương trình trên về dạng phương trình đẳng cấp

Phương trình sẽ cho tương tự với :

(left{eginmatrix x^2-(y^2-2y+1)=8\ x^2+x(y-1)+(y^2-2y+1)=13endmatrix ight.)

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-(y-1)^2=8\ x^2+x(y-1)+(y-1)^2=13 endmatrix ight.)

Đặt ( z=y+1 ), phương trình vẫn cho trở thành :

(Leftrightarrow left{eginmatrix x^2-z^2=8\ x^2+xz+z^2=13 endmatrix ight. ;;;;; (1) )

Đây là phương trình sang trọng bậc ( 2 ) với hai ẩn ( x;z )

Hệ phương trình trên tương đương với :

(Leftrightarrow left{eginmatrix 13x^2-13z^2=104\ 8x^2+8xz+8z^2=104 endmatrix ight.)

Trừ nhì vế của nhì phương trình ta được :

(5x^2-8xz-21z^2=0)

Đặt ( x=tz ). Cụ vào ta được :

( z^2(5t^2-8t-21) =0 )

Nếu ( z=0 ) nắm vào hệ ( (1) ) ta được :

(left{eginmatrix x^2=8\ x^2=13 endmatrix ight. Rightarrow) vô lý ( nhiều loại )

Nếu ( z eq 0 ) thì ta bao gồm :

( 5t^2-8t-21 =0 )

(Leftrightarrow (5t+7)(t-3)=0)

(Leftrightarrow left<eginarrayl t=3\t=-frac57 endarray ight.)

Nếu ( t=3 ) , cầm cố vào ta được :

(8z^2=8 Leftrightarrow z= pm 1)

(left<eginarrayl z=1 Rightarrow x=3; y=2\ z=-1 Rightarrow x=-3; y=0endarray ight.)

Nếu ( t=-frac57 ) cụ vào ta được :

(-frac2449z^2=8Leftrightarrow z^2=-frac493Rightarrow) vô lý ( một số loại )

Vậy hệ phương trình sẽ cho có hai cặp nghiệm là ( (x;y) = ( 3;2) ; (-3;0) )

Dạng bài bác hệ phương trình bao gồm một phương trình đẳng cấp

Đây là đầy đủ hệ phương trình mà trong số đó có một phươn trình gồm dạng ( f(x;y) =0 ) với ( f ) là phương trình hai ẩn ( x;y ) gồm bậc bởi nhau

Để giải việc này thì trường đoản cú phương trình đẳng cấp và sang trọng đó, họ đặt ( x=ky ), giải ra ( k ) rồi cầm cố vào phương trình lắp thêm hai, tìm thấy ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình:

(left{eginmatrix x^2-3xy+2y^2=0\ sqrt5x-y-x=1 endmatrix ight.)

Cách giải:

ĐKXĐ: ( y leq 5x )

Dễ thấy nếu như ( y=0 ) thì hệ phương trình đã đến vô nghiệm. Vậy ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ). Núm vào phương trình đầu tiên ta được :

( y^2(k^2-3k+2) =0 )

Do ( y eq 0 ) yêu cầu (Rightarrow k^2-3k+2=0)

(Leftrightarrow (k-1)(k-2)=0 Leftrightarrow left<eginarrayl k=1\k=2 endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) nắm vào phương trình bên dưới ta được :

(2y-y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=1 )

Nếu ( k=2 ) cụ vào phương trình bên dưới ta được :

(3y-2y=1Leftrightarrow y=1) và ( x=2 )

Vậy phương trình đã cho có hai cặp nghiệm ( (x;y) = (1;1) ; (2;1) )

Dạng bài xích hệ phương trình bao gồm tích nhì vế đẳng cấp

Đây là số đông hệ phương trình có dạng:

(left{eginmatrix f_1(x;y)=f_2(x;y)\g_1(x;y)=g_2(x;y) endmatrix ight.) với ( f_1;f_2;g_1;g_2 ) là những hàm số đẳng cấp thỏa mãn:

Bậc của ( f_1.g_1 ) bằng bậc của ( f_2.g_2 )

Để giải hệ phương trình này , ta nhân từng vế của hệ để được một phương trình đẳng cấp:

( f_1(x;y).g_1(x;y) =f_2(x;y).g_2(x;y) )

Đến phía trên ta đặt ( x=ky ), nắm vào giải ra ( k ). Kế tiếp thay ( k ) vào hệ phương trình thuở đầu giải ra ( x;y )

Ví dụ:

Giải hệ phương trình :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3-2x-y=0 endmatrix ight.)

Cách giải:

Hệ phương trình vẫn cho tương đương với :

(left{eginmatrix x^2+xy+y^2=3\ x^3+2y^3=2x+y endmatrix ight.)

Nhân chéo cánh hai vế của hệ phương trình ta được :

( (2x+y)(x^2+xy+y^2) = 3(x^3+2y^3) )

(Leftrightarrow x^3-3x^2y-3xy^2+5y^3=0)

Dễ thấy trường hợp ( y=0 ) thì hệ đã đến vô nghiệm. Vậy đề nghị ( y eq 0 )

Đặt ( x=ky ) . Gắng vào phương trình trên ta được :

( y^3(k^3-3k^2-3k+5)=0 )

Do ( y eq 0 ) yêu cầu ( k^3-3k^2-3k+5=0 )

(Leftrightarrow (k-1)(k^2-2k-5)=0 Leftrightarrow left<eginarraylk=1 \ k=1-sqrt6\ k=1+sqrt6endarray ight.)

Nếu ( k=1 ) núm vào ta được:

(3y^2=3 Leftrightarrow y^2=1 Rightarrow x=y=1) hoặc ( x=y=-1 )

Nếu ( k=1-sqrt6 ) nuốm vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt2+sqrt3=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt2+sqrt3sqrt3)

Vậy ta gồm hai cặp nghiệm :

((x;y)= (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6))

Nếu ( k=1+sqrt6 ) cố vào ta được:

(y^2frac3sqrt3sqrt3-sqrt2=3 Leftrightarrow y^2=fracsqrt3-sqrt2sqrt3)

Vậy ta tất cả hai cặp nghiệm:

((x;y)= (frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6))

Vậy phương trình sẽ cho gồm 6 cặp nghiệm thỏa mãn:

( (x;y)=(1;1);(-1;-1); (frac1-sqrt6sqrt3-sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(fracsqrt6-1sqrt3-sqrt6;frac-1sqrt3-sqrt6);(frac1+sqrt6sqrt3+sqrt6;frac1sqrt3-sqrt6);(-frac1+sqrt6sqrt3-sqrt6;-frac1sqrt3+sqrt6) )

Bài viết trên đây của leveehandbook.net đã khiến cho bạn tổng hợp triết lý và các cách thức giải hệ phương trình đẳng cấp.

Xem thêm: Cách Tính Diện Tích Tứ Giác Bất Kì, Cách Tính Diện Tích Tứ Giác Chi Tiết Nhất

Hi vọng những kỹ năng và kiến thức trong bài viết sẽ giúp ích cho mình trong quá trình học tập và nghiên cứu và phân tích chủ đề hệ phương trình đẳng cấp. Chúc bạn luôn học tốt!.

Tu khoa lien quan:

giải phương trình đẳng cấp và sang trọng lớp 9phương trình đẳng cấp và sang trọng bậc 2 lớp 10dấu hiệu nhận biết hệ phương trình đẳng cấp