Bài tập số phức nâng cao, xuất xắc và khó khăn chọn lọc

Với bài tập số phức nâng cao, hay với khó tinh lọc Toán lớp 12 tổng hợp các dạng bài tập, trên 50 bài tập trắc nghiệm gồm lời giải cụ thể với đầy đủ phương pháp giải, lấy một ví dụ minh họa để giúp đỡ học sinh ôn tập, biết phương pháp làm dạng bài tập số phức từ đó đạt điểm trên cao trong bài thi môn Toán lớp 12.

Bạn đang xem: Bài tập số phức nâng cao

*

20 bài xích tập Số phức

Câu 1: cho số phức z vừa lòng điều kiện |z - 3 + 4i| ≤ 2. Trong phương diện phẳng Oxy tập vừa lòng điểm màn biểu diễn số phức w = 2z + 1 - i là hình trụ có diện tích:

A. S = 9πB. S = 12π.C. S = 16π.D.S = 25π.

Hướng dẫn:

Ta có:

*

|w - 1 + i - 6 + 8i| ≤ 4 |w - 7 + 9i| ≤ 4 (1)

Giả sử w = x + yi, khi đó (1) (x - 7)2 + (y + 9)2 ≤ 16

Suy ra tập vừa lòng điểm trình diễn số phức w là hình tròn tâm I(7; -9), nửa đường kính r = 4

Vậy diện tích s cần tìm là S = π.42 = 16π

Chọn C.

Câu 2: đến số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá chỉ trị lớn số 1 của biểu thức

*

A.5B.4C.6D.8

Hướng dẫn:

Ta có:

*

Khi z = i thì A = 6

Chọn C.

Câu 3. mang lại số phức z vừa lòng |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất max M cùng giá trị bé dại nhất min M của biểu thức M = |z2 + z + 1| + |z3 + 1|

A. Max M = 5; min M = 1B. Max M = 5; min M = 2

C. Max M = 4; min M = 1D.max M = 4; min M = 2

Hướng dẫn:

Ta có: M ≤ |z|2 + |z| + 1 + |z|3 + 1 = 5 ,

khi z = 1 thì M = 5 đề nghị max M = 5

Mặt khác:

*

khi z = -1 thì M = 1 yêu cầu min M = 1

Chọn A.

Câu 4. mang lại số phức z thỏa |z| ≥ 2 . Tìm tích của giá trị lớn số 1 và nhỏ nhất của biểu thức:

*

*

Hướng dẫn:

Ta có:

*

Mặt khác:

*

Vậy, giá trị nhỏ nhất của p là

*
, xẩy ra khi z = -2i

giá trị lớn nhất của p bằng

*
xảy ra khi z = 2i

Chọn A.

Câu 5. mang lại số phức z thỏa mãn |z| = 1. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức phường = |1 + z| + 3|1 - z|

*

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có:

*

=> y2 = 1 - x2 => x ∈ <-1; 1>

Ta có:

P = |1 + z| + 3|1 - z|

*

Xét hàm số:

*

Hàm số thường xuyên trên <-1; 1> cùng với x ∈ (-1; 1) ta có:

*

Ta có:

f(1) = 2; f(-1) = 6;

*

Chọn D.

Câu 6 . đến số phức z thỏa mãn nhu cầu điều kiện |z2 + 4| = 2|z|. Khẳng định nào sau đó là đúng?

*

Hướng dẫn:

Áp dụng bất đẳng thức |u| + |v| ≥ | u + v|, ta được:

2|z| + |-4| = |z2 + 4| + |-4| ≥ |z|2 => |z|2 - 2|z| - 4 ≤ 0 => |z| ≤ √5 + 1.

2|z| + |z|2 = |z2 + 4| + |-z2| ≥ 4 => |z|2 + 2|z| - 4 ≥ 0 => |z| ≥ √5 - 1

Vậy |z| nhỏ dại nhất là √5 - 1 lúc z = -1 + i√5 và |z| lớn số 1 là √5 + 1 lúc z = 1 + i√5

Chọn B.

Câu 7. mang đến z1; z2 là nhì số phức phối hợp của nhau và thỏa mãn nhu cầu

*
∈ R và |z1 - z2| = 2√3. Tính môđun của số phức z1.

A. |z1| = √5

B. |z1| = 3

C. |z1| = 2

D. |z1| =

*

Hướng dẫn:

Gọi z1 = a + bi; z2 = a - bi.

Không mất tính tổng quát ta coi b ≥ 0

Do |z1 - z2| = 2√3 => |2bi| = 2√3 => b = √3

Do z1; z2 là hai số phức phối hợp của nhau phải z1; z2 ∈ R, mà:

*

Ta có:

(z1)3 = (a + bi)3 = (a3 - 3ab2) + (3a2b - b3)i ∈ R

*

Chọn C.

Câu 8. gọi z = x + yi là số phức thỏa mãn nhu cầu hai điều kiện: |z - 2|2 + |z + 2|2 = 26 và

*
đạt giá trị phệ nhất. Tính tích xy.

*

Hướng dẫn:

Đặt z = x + yi cố kỉnh vào đk thứ nhất, ta được x2 + y2 = 36

Đặt x = 3.cost; y = 3sint. Rứa vào đk thứ hai, ta có:

*

Dấu bằng xẩy ra khi:

*

Chọn D.

Câu 9. Biết số phức z vừa lòng đồng thời hai điều kiện |z - 3 - 4i| = √5 cùng biểu thức M = |z + 2|2 - |z - i|2 đạt giá bán trị bự nhất. Tính môđun của số phức z + i.

A. |z + i| = 2√41

B. |z + i| = 3√5

C. |z + i| = 5√2

D. |z + i| = √41

Hướng dẫn:

Gọi z = x + yi.

Ta có: |z - 3 - 4i| = √5 (C): (x - 3)2 + (y - 4)2 = 5, trọng điểm I(3; 4) cùng R = √5

Mặt khác:

M = |z + 2|2 - |z - i|2 = (x + 2)2 + y2 - <(x2) + (y - 1)2> = 4x + 2y + 3

d: 4x + 4y + 3 - M = 0

Do số phức z vừa lòng đồng thời hai điều kiện nên d cùng (C) có điểm chung

*

Chọn D.

Câu 10. cho số phức z vừa lòng điều kiện: |z - 1 + 2i| = √5 cùng w = z + 1 + i có môđun bự nhất. Số phức z có môđun bằng:

A. 2√5B. 3√2

C. √6D. 5√2

Hướng dẫn:

Gọi z = x + y; khi đó: z - 1 + 2i = (x - 1) + (y + 2)i

Ta có:

*

Suy ra tập vừa lòng điểm M(x; y) trình diễn số phức z thuộc mặt đường tròn (C) trọng điểm I(1; -2) nửa đường kính R = √5 như hình vẽ:

Dễ thấy O ∈ (C), N(-; -1) ∈ (C),

Theo đề ta có: M(x; y) ∈ (C) là vấn đề biểu diễn đến số phức z thỏa mãn: w = z + 1 + i = x + yi + 1 + i = (x + 1) + (y + 1)i

*

Suy ra |z + 1 + i|đạt giá trị lớn nhất lúc MN lớn nhất

Mà M, N ∈ (C) cần MN lớn nhất khi MN là 2 lần bán kính đường tròn (C)

Khi và chỉ khi I là trung điểm MN => M(3; 3) => z = 3 - 3i

*

Chọn B

Câu 11: mang lại hai số phức z1; z2 bao gồm điểm trình diễn lần lượt là M1; m2 cùng thuộc đường tròn bao gồm phương trình x2 + y2 = 1 cùng |z1 - z2| = 1. Tính quý giá biểu thức phường = |z1 + z2|

*

Hướng dẫn:

*

M1; m2 đường tròn (T) có tâm O(0; 0) và bán kính R = 1

Ta có |z1 - z2| = 1 xuất xắc M1M2 = 1.tam giác OM1M2 là tam giác hồ hết cạnh bởi 1

Suy ra:

*

Chọn D.

Câu 12. cho những số phức a; b;c vừa lòng a + b + c = 0 với |a| = |b| = |c| = 1. điện thoại tư vấn A; B: C lần lượt là điểm biểu diễn cho các số phức a; b; c . Tính diện tích của tam giác ABC

*

Hướng dẫn:

Cách 1: (Tự luận)

+ trước hết ta chứng minh tam giác ABC các nội tiếp mặt đường tròn bán kính bằng 1. Thực vậy: từ giả thiết |a| = |b| = |c| = 1. Yêu cầu A; B; C số đông thuộc con đường tròn (O;R = 1) .

+ Ta chứng tỏ tam giác ABC đều. Chú ý: |a - b| = AB

+ từ bỏ a + b + c = 0 yêu cầu a = -b -c => |b + c| = 1 cùng |c + a| = |a + b| = 1 .

Mặt khác theo hằng đẳng thức hình bình hành ta tất cả |a + b|2 + |a - b|2 = 2(|a|2 + |b|2) buộc phải ta dành được |a - b|2 = 2.2 - 1 = 3 => |a - b| = √3 => AB = √3 .

Tương từ ta tính được BC = CA = √3 . Cho nên vì vậy tam giác ABC các với cạnh bằng √3 đề nghị có diện tích s bằng

*

Cách 2: chuẩn chỉnh hóa bằng những số phức:

*

Khi kia ta dễ thấy các số phức trên thỏa mãn các điều kiện của bài xích toán.

*

từ kia ta tìm kiếm được diện tích của tam giác ABC.

Chọn C.

Câu 13. điện thoại tư vấn A, B, C lần lượt là vấn đề biểu diễn những số phức

*

Khi đó, mệnh đề nào dưới đây là đúng.

A. A; B; Cthẳng hàng.B. Tam giác ABC là tam giác tù.

C. ΔABC là tam giác đều.D. Tam giác ABC là tam giác vuông cân.

Hướng dẫn:

Ta có z1 = 2 - i; z2 = 3 + i; z3 = 2i.

Từ trên ta được A( 2; -1); B(3; 1); C(0; 2).

Ta được:

*

- bởi

*
nên ba điểm A; B; C ko thẳng sản phẩm từ kia ta được tam giác ABC.

- dễ thấy tam giác ABC không hẳn là tam giác phần đông và cũng không hẳn tam giác vuông.

Vậy tam giác ABC là tam giác tù.

Chọn B.

Câu 14. mang lại số phức z thỏa mãn |z - 1 + 2i| + |z + 2 - i| = 3√2. Call M; m theo lần lượt là giá bán trị lớn số 1 và nhỏ nhất của biểu thức phường = |z - 3 + i|. Quý giá của tổng S = M + m là:

*

Hướng dẫn:

*

+ thứ nhất ta có mệnh đề quen thuộc: trường hợp z; z’ lần lượt bao gồm điểm trình diễn là A; A’ thì |z" - z| = A"A .

+ Xét những số phức z1 = 1 - 2i; z2 = -2 + i; z3 = 3 - i và z = x + yi lần lượt tất cả điểm trình diễn là A; B; C với N.

Khi kia ta tất cả giả thiết là mãng cầu + NB = 3√2 (1) cùng với AB = 3√2 (2).

Từ (1) với (2) ta được N trực thuộc đoạn thẳng AB.

Yêu cầu bài toán là kiếm tìm min hoặc max của biểu thức S = NC cùng với ABC là 3 đỉnh của tam giác.

Khi đó minP = NC; maxP = maxCA,CB .

+ Ta bao gồm đường trực tiếp AB: x + y + 1 = 0 nên

*

+ CA = √5;CB = √29 suy ra max p. = √29.

Chọn A.

Câu 15. mang lại 3 số phức z1; z2; z3 phân biệt thỏa mãn |z1| = |z2| = |z3| = 3 và

*
Biết rằng những điểm biểu diễn cho những số phức z1; z2; z3 theo lần lượt là A; B; C. Tính số đo góc ∠ACB

A. 60o

B. 90o

C. 150o

D. 120o

Hướng dẫn:

*

Giả sử zk = xk + yk, khi ấy điểm A(x1; y1); B( x2; y2); C(x3; y3) lần lượt là vấn đề biểu diễn cho những số phức z1; z2; z3 xung quanh phẳng tọa độ Oxy.

+ Từ mang thiết |z1| = |z2| = |z3| = 3 => OA = OB = OC = 3nên A; B; C đa số thuộc đường tròn vai trung phong O, bán kính R = 3.

*

(vì |z1| = |z2| = |z3| = 3 ) xuất xắc x1 - y1.i + x2 - y2.i = x3 - y3i.

*

+ do OA = OB = 3 cùng

*
bắt buộc OACB là hình thoi với một đường chéo cánh OC = 3.

+ Từ bên trên suy ra tam giác OAC; OBC các cạnh bằng 3 bắt buộc ∠ACB = 120o

Chọn D.

Câu 16. cho các số phức a; b; c; z vừa lòng az2 + bz + c = 0 cùng |a| = |b| = |c| > 0 . Kí hiệu M = max|z|, m = min|z|. Tính tế bào đun của số phức w = M - mi.

A. |w| = √3B. |w| = 1C. |w| = 2√3D. |w| = 2

Hướng dẫn:

Ta thấy phương trình az2 + bz + c = 0 trên tập số phức luôn luôn có nhì nghiệm rõ ràng hoặc trùng nhau z1; z2.

Theo định lý vi – ét ta có:

*

Đặt |z1| = x > 0; x ∈ R , lúc ấy ta có:

*

Từ bất đẳng thức |z1| + |z2| ≥ |z1 + z2| nên tía số |z1|, |z2|, |z1 + z2| là 3 cạnh của một tam giác (có thể suy trở thành đoạn thẳng).

Áp dụng bất đẳng thức tam giác ngược ta được:

*

Chọn A.

Câu 17. mang đến số phức z thỏa mãn nhu cầu

*
. Tổng mức lớn nhất, bé dại nhất của |z| là:

A. 3B. √5C. √13D. 5

Hướng dẫn:

*

Với trả thiết ta có:

*

Từ đó ta được:

*

Từ đó bằng cách thay a ví dụ ta được đáp án C.

Câu 18. đến số phức z thỏa mãn nhu cầu |z| = 1 Tìm tổng mức lớn nhất, nhỏ tuổi nhất của biểu thức phường với phường = |1 + z22| - |1 + z| ?

A. 2 + √2B. 1 + 2√2C. -1 + 2√2D. 2 - √2

Hướng dẫn:

Ta có:

*

nên ta tất cả maxP = P(1) = 0; minP = P(0) = -√2.

*

Hàm số nghịch biến hóa trên .

Từ đó ta được max p. = P(-1) = 2; minP = P(0) = -√2.

+ Từ bên trên ta được:

*

Chọn A.

Câu 19. mang lại hai số phức z1; z2 thỏa mãn |z1|z1 = 4|z2|z2 cùng nếu gọi M, N là vấn đề biểu diễn z1; trong phương diện phẳng tọa độ thì tam giác giác tháng có diện tích s là 8. Tìm giá chỉ trị nhỏ nhất của |z1 + z2|

A. 3√3B.8C. 6√2D.5

Hướng dẫn:

Giải theo từ bỏ luận

+ Từ mang thiết |z1|z1 = 4|z2|z2, suy ra |z1| = 2|z2| và ta được z1 = 2z2.

+ mang sử z1 = x + yi; z2 = a + bi. Ta được

*
và M(x; y); N(a; -b); N’(a; b) thứu tự là các điểm biểu diễn cho các số phức z1, cùng z2.

Ta có:

*

Từ diện tích của tam giác OMN bởi 8 đề xuất |bx + ay| = 16 hay |ab| = 4 (1).

Ta có:

*

Dấu bằng ra mắt khi và chỉ còn khi :

*

Chọn C.

Câu 20. đến hai số phức z1; z2 thỏa mãn nhu cầu |z1 + 5| = 5, |z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i|. Tìm giá trị nhỏ dại nhất của |z1 - z2|

Hướng dẫn:

Giả sử M(a; b) là vấn đề biểu diễn của số phức z1 = a + bi, N(c; d) là điểm biểu diễn của số phức z2 = c + di

Ta có: |z1 + 5| = 5 (z1 + 5)2 + b2 = 25

Vậy M thuộc con đường tròn (C): (x + 5)2 + y2 = 25

|z2 + 1 - 3i| = |z2 - 3 - 6i| 8c + 6d = 35

Vậy N thuộc mặt đường thẳng Δ 8x + 6y = 35

Dễ thấy con đường thẳng Δ không giảm (C) cùng |z1 - z2| = M .

Bài toán trở thành: Trong mặt phẳng Oxy mang đến đường tròn (C) và mặt đường thẳng 8x + 6y = 35. Tìm giá chỉ trị bé dại nhất của MN, biết M điều khiển xe trên (C) , N chạy trên tuyến đường thẳng Δ .

*

Gọi d là đường thẳng qua I với vuông góc với Δ .

PT đường thẳng d là 6x - 8y = -30.

Gọi H là giao điểm của d và Δ . Tọa độ điểm H là nghiệm của hệ

*

Gọi K, L là giao điểm của d với mặt đường tròn (C). Tọa độ K, L là nghiệm của hệ

*

Vậy K(-1; 3), L(-9; -3)

Tính thẳng HK, HL. Suy ra

*

Câu 21.

Xem thêm: Cách Tìm M Để Hàm Số Liên Tục Trên R Ên Một Khoảng, Chuyên Đề: Hàm Số Liên Tục

trong số số phức z nhất trí điều kiện: |z – 2 + 3i| = . Search số phức z có môđun nhỏ dại nhất.

Hướng dẫn:

*

Giả sử z = x + yi, lúc đó:

*

=> Tập thích hợp điểm M thoả mãn đk đã cho là đường tròn vai trung phong I(2; -3) và nửa đường kính Môđun của z đạt giá trị nhỏ dại nhất khi và chỉ khi M thuộc con đường tròn cùng gần O độc nhất vô nhị